Тел.факс: +7(831)437-66-01
Факторинг  Анализ финансовых западных рынков 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 [ 17 ] 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92

достаточно близкими к ним, так что стандартные методы все же могут применяться с некоторыми видоизменениями. Конечно, есть случаи, где эта логика оправдывается, но это привело к процессу рационализации в отношении рьшков капитала и экономической теории и этот процесс привел нас в тупик. В книге Хаос и порядок на рынках капнтача я довольно подробно об этом говорил. Я не собираюсь повторять здесь эти аргументы, но стоит упомянуть, что сначала появился статистический анализ рьшков, а затем последовала гипотеза эффективного рьшка.

Если изучаемая система не является IID, или близкой к таковой, что мы должны делать? Нам нужен непараметрический метод. К счастью, очень здравая непараметрическая методология была открыта X. Е. Херстом знаменитым британским гидрологом, который в 1951 г. опубликовал работу, озаглавленную Долгосрочная вместимость водохранилища . На первый взгляд работа рассматривала моделирование проекта водохранилища, но Херст включил в свое исследование многие естественные системы и дал нам новую статистическую методологию для различения случайных и неслучайных систем, постоянства трендов и продолжительности циклов, если таковые имеются. Короче говоря, он дал нам метод, названный методом нормированного размаха, или R/S-анализом, используемый для различения случайного временного ряда и фрактального временного ряда. Перейдем теперь к его методологии.

В этой главе даются предпосылки рассуждений Херста и примеры из его ранней работы. В Главе 5 мы рассмотрим значимость результатов. Глава 6 покажет, как R/S-анализ может использоваться для анализа периодических и непериодических циклов.

ПРЕДПОСЫЛКИ: РАЗВИТИЕ R/S-АНАЛИЗА

X. Е. Херст (1900-1978) строил плотины. В начале 20-ого столетия он работал над проектом нильской плотины. Он изучил Нил настолько хорошо, что некоторые египтяне, как говорят, дали ему прозвище Отец Нила . Нил поставил интересную проблему перед Херстом как гидрологом. При проектировании плотины гидрологов интересует вместимость образующегося водохранилища. Приток воды происходит благодаря нескольким естественным элементам (осадки, разлив реки и т. д.), и регулируемое количество воды используется для выращивания зерновых культур. Вместимость водохранилища основана на оценке притока воды и потребности в оттоке воды. Большинство гидрологов начинает с предположения о том, что приток воды является случайным процессом - совершенно разумное предположение, когда имеешь дело с комплексной экосистемой. Херст, однако, изучил 847-летние записи, которые вели египтяне о разливах Нила, с 622 г. н.э. до 1469 г. н.э. Эти записи не показались ему случайными. Разливы больше среднего вероятнее всего сопровождались большими разливами. Затем процесс резко менялся, и разлив был меньше среднего, а за ним следовали другие разливы меньше среднего. Короче говоря, казалось, что имели место циклы, но их продолжительность была



4.Измерение памяти - процесс Херста и R/S анализ

непериодична. Стандартный анализ показал отсутствие статистически существенных взаимосвязей между наблюдениями, так что Херст разработал свою собственную методологию.

Херст знал о работе Эйнштейна (1908) о броуновском движении (беспорядочный путь, который проходит частица, взвешенная в жидкости). Броуновское движение стало первичной моделью для процесса случайных блужданий. Эйнштейн обнаружил, что расстояние, которое проходит случайная частица, увеличивается пропорционально квадратному корню из времени, используемому для его измерения, или:

R = r-5 (4.1)

где R = пройденное расстояние, а Т = показатель времени

Уравнение (4.1) называют правилом Т в степени 7/2 , и оно обычно используется в статистике. Мы используем его в финансовой экономике, чтобы пересчитать на год волатильность или стандартное отклонение. Мы берем стандартное отклонение ежемесячных прибылей и умножаем его на квадратный корень из 12. Мы предполагаем, что дисперсия прибылей увеличивается как квадратный корень из времени. Херст чувствовал, что, используя это свойство, он мог проверить разливы Нила на случайность.

Мы начинаем с временного ряда х =Xi,...x, чтобы представить п последовательных значений. (В этой книге мы говорим о временном ряде х, имея в виду весь X где г = от 1 до п. Определенный элемент х будет включать его нижний индекс. Эта система обозначений будет применяться ко всем временным рядам). Показатель времени, в общем, неважен. В случае Херста, он представлял собой ежегодный слив Нила. Для рынков это могут быть ежедневные изменения цены индекса курса акций. Среднее значение Хщ временного ряда х определяется как:

Хпт = (х,+...+Хп)/п (4.2)

Стандартное отклонение Sn оценивается как:

Sn = n--*VU.-xJ (4.3)

что является просто стандартной нормальной формулой для стандартного отклонения. Нормированный размах был рассчитан путем первоначального изменения масштаба или нормализации данных, посредством вычитания выборочного среднего:

Zr = (Xr-x 0; r=l,...,n (4.4)

Полученный в результате ряд Z теперь имеет среднее, равное нулю.



Следующий шаг создает кумулятивный временной ряд Y:

Y,=(Z,+Zr) r = 2,...,n (4.5)

Обратите внимание, что, по определению, последнее значение У (¥ ) всегда будет нулем, потому что Z имеет среднее значение, равное нулю. Скорректированный размах Rn является максимумом за вычетом минимального значения Yri

Rn = max(Yb..., Yn) - min(Y ..., Yn) (4.6)

Нижний индекс n для R теперь показьшает, что это - скорректированный размах для Xi,..., х . Поскольку Y был скорректирован к среднему нулю, максимальное значение Y всегда будет больше или равно нулю, а минимальное значение всегда будет меньше или равно нулю. Следовательно, скорректированный размах Rn всегда будет неотрицателен.

Этот скорректированный размах R является расстоянием, на которое перемещается система за показатель времени п. Если мы устанавливаем п = Т, мы можем применить уравнение (4.1) при условии, что временной ряд х независим для увеличения значений п. Однако уравнение (4.1) применимо только к временному ряду, который находится в броуновском движении: он имеет нулевое среднее и дисперсию, равную единице. Для применения этой концепции к временному ряду, который не находится в броуновском движении, нам необходимо обобщить уравнение (4.1) и принять во внимание системы, которые не являются независимыми. Херст обнаружил следующую более общую форму уравнения (4.1):

(R/S)n = с=п (4.7)

Нижний индекс п для (R/S)n относится к значению R/S для Xi,..., х ; с = константа.

Значение R/S уравнения (4.7) называется нормированным размахом, потому что оно имеет нулевое среднее и выражается в терминах местного стандартного отклонения. В общем, значение R/S изменяет масштаб по мере увеличения нами приращения времени п согласно значению степенной зависимости, равному Н, который обычно называется показателем Херста. В этом заключается первая связь явлений Херста с фрактальной геометрией, описанной в Главе 1. Вспомните, что все фракталы изменяют масштаб согласно степенной зависимости. В легком млекопитающих диаметр каждого ответвления уменьшался в масштабе согласно обратному значению степенной зависимости. Это обратное значение степенной зависимости равнялось фрактальной размерности структуры. Однако в отношении временного ряда мы идем от меньших приращений времени к большим, а не от больших поколений ответвлений к меньшим, как в легком. Диапазон увеличивается согласно степени. Это назьшается масштабированием со степенной зависимостыо (power-law scaling). Опять же, это является характерной, хотя и не исключительной, чертой фракталов. Нам нужны другие характеристики, прежде чем мы сможем



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 [ 17 ] 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92