1991а), но так как я чувствую, что понимание явлений Херста связано с методом моделирования, я повторяю их здесь в сокращенной форме. Хотя я ввожу некоторую дополнительную информацию, читатели, знакомые с моей более ранней рабсггой, могут перейти к следующему разделу. Для тех читателей, которые незнакомы с явлениями Херста, этот раздел является очень важным.

Херст сымитировал вероятностный процесс, используя вероятностную колоду карт, то есть колоду с 52 картами, которые были помечены числами ±1, ±3, ±5, ±7 и ±9 для приближения к нормальному распределению. Он перетасовывал эту колоду и, отмечая число повторных снятий колоды, создал случайный временной ряд. Выполнение R/S-анализа на полученном ряду привело к показателю Херста, равному приблизительно 0,50. Он достаточно близко соответствовал стандартам того времени. Херст выполнил 1 ООО испытаний и обнаружил, что наклон немного изменился.

Чтобы имитировать смещенные случайные блуждания, он сначала перетасовывал колоду и снимал ее один раз, отмечая число с открытой карты. Для примера, мы будем использовать +3 как первоначально выпавшее число. Он возвращал эту карту на место и повторно перетасовывал колоду. Затем он раскладьшал карты на две колоды по 26 карт, которые мы назовем колодами А и Б. Поскольку первой была снята карта с числом +3, он перекладывал три старшие карты из колоды А в колоду Б. Затем он убирал три самых младшие карты из колоды Б. Колода Б теперь имела смещение +3. Наконец, он добавлял джокера в колоду Б, после чего она перетасовывалась. Затем он использовал колоду Б со смещением в качестве генератора временного ряда до тех пор, пока он не снимал джокера. После этого Херст создавал новую колоду со смещением.

Херст провел 1 ООО испытаний на 100 колодах. Он вычислил, что Н = 0,72, что приблизительно соответствовало тому значению, которое он получил в итоге природных наблюдений. Подумайте о задействованном процессе: сначала -смещение каждой колоды, которое определяется случайным снятием колоды; затем -порождение самого временного ряда, что таюке является другим рядом случайных снятий колоды; и, наконец - появление джокера, что опять происходит случайным образом. Несмотря на все эти случайные события, неизменно получалось Н = 0,72. И снова мы имеем локальную случайность и глобальную структуру, что очень похоже на игру хаоса, описанную в Главе 1. В данном случае это скорее глобальная статистическая, а не геометрическая структура.

Если рынки являются процессами Херста, они проявляют тенденции, которые сохраняются, пока не появляется экономический эквивалент джокера, который изменяет смещение по величине, направлению или в том и другом плане.

СЛУЧАЙНОСТЬ И ПЕРСИСТЕНТНОСТЬ: ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ПОКАЗАТЕЛЯ ХЕРСТА

Согласно первоначальной теории Н = 0,50 подразумевало бы независимый процесс. Важно понять, что R/S-анализ не требует, чтобы основной процесс был гауссов, он требует только, чтобы он был независим. Это, конечно, включало бы нормальное распределение, но также и негауссовы независимые процессы наподобие

t-Стьюдента, гаммы или любой другой формы. R/S-анализ является непараметрическим, поэтому он не содержит требования к форме лежащего в основе распределения.

0,50 < Н < 1,00 подразумевает персистентный временной ряд, а персистентный временной ряд характеризуется эффектами долговременной памяти. Теорегически, то, что происходит сегодня, воздействует на будущее. В терминах хаотической динамики существует чувствительная зависимость от начальных условий. Такая долговременная память имеет место независимо от масштаба времени. Все ежедневные изменения соотнесены со всеми будущими ежедневными изменениями; все еженедельные изменения соотнесены со всеми будущими еженедельными изменениями. Не существует характерного масштаба времени, ключевой характеристики фрактального временного ряда.

О < Н < 0,50 означает антиперсистентность. Антиперсистентная система проходит меньшее расстояние, чем случайная система. Чтобы система прошла меньшее расстояние, она должна меняться чаще, чем вероятностный процесс. Традиционные теоретики нриравня;ш бы это 1юведение к процессу, который является возвратным к среднему. Тем не менее, это нредгюлагает, что изучаемая система имсеч устойчивое среднее. Мы не можем сделать такое предгюложение.

Как мы видели, персистентный времершой ряд является самым раснространенным типом, встречающимся в природе. Мы таюке увидим, что он является самым распространенным типом на рынках капитала и в эк01юмике. Для оценки этого утверждения мы должны обратиться к более праюпческим вопросам, то есть к вычислениям.

R/S-АНАЛИЗ: РУКОВОДСТВО ШАГ ЗА ШАГОМ

R/S-анализ является простым процессом, который требует nepepaGoiKii большого количества данных. В этом разделе уравнения с (4.2) по (4.8) представлены в виде ряда выпо]шимых шагов. В Приложении 2 содержится программа на языке GAUSS. Вот эти последовательные шаги:

1. Начните с врсменно1о ряда длины М. Преобразуйте его во временной ряд

juihhijI N = М - 1 из логарифмических отношений:

N, = log(M , ,/М,), i - 1, 2, 3,(М - 1) (4.9)

2. Разделите этот период времени на А смежных подпер1Юдов детины п, так

что А*п = N. Пометьте каждьп ! гюдпериод 1 с учетом того, что а 1,2, 3..., А. Каждый элемент в Ij помечен N. при этом к = 1,2, 3..., п. Дпя каждого 1а длины п среднее значение определяется как:

e, = (l/n)*yV (4.10)

гдее, = среднее значение N содержащегося в подпериоде 1, /ушны п.

3. Временной ряд накопленных отклонений (Х,.;,) от среднего значения л;\я

каждого подпериода 1а определяется как: к

Xk.a=i;W -J (4.11)

к=1,2,3,...,п

4. Диапазон определяется как максимальное значение за вычетом минимального значения Xi в пределах каждого подпериода 1а:

R,a = тах(Хь) - min(Xu) (4.12)

где 1 < к > п.

5. Выборочное стандартное отююнение, рассчитываемое для каждого подпериода 1а:

s.=((vn)*X(/.. -,; ))

6. Каждый диапазон теперь нормализуется путем деления на соответствующий Зь Поэтому повторно нормированный размах в течение каждого 1а подпериода равен RJSb. В шаге 2 выше мы получили смежные подпериоды длины п. Следовательно, среднее значение R/S для длины п определяется как:

iRJSX = i\/ArY.(R,/SJ (4.13)

7. Длина п увеличивается до следующего более высокого значения, а (М -

1)/п является целочисленным значением. Мы используем значения п, включающие начальные и конечные точки временного ряда, и шаги 1 - 6 повторяются до п = (М - 1)/2. Теперь мы можем применить уравнения (4.7) и (4.8), выполняя простую регрессию методом наименьших квадратов на log(n) как независимой переменной и log(R/S)n как зависимой переменной. Отрезок, отсекаемый на координатной оси, является оценкой log(c), константой. Наклон уравнения является оценкой показателя Херста П.

В последующих главах мы более подробно рассмотрим другие практические вопросы. Пока мы добавим еще одно эмпирическое правило: вообще, стройте регрессию для значений п > 10. Небольшие значения п производят нестабильные оценки при небольших размерах выборки. При рассмотрении критериев значимости в Главе 5 мы увидим другие эмпирические правила.

ПРИМЕР: ОБМЕННЫЙ КУРС ИЕНА/ДОЛЛАР

в качестве первого примера R/S-анализ был применен к ежедневному обменному курсу иена/доллар с января 1972 г. по декабрь 1990 г. К сожалению.