Тел.факс: +7(831)437-66-01
Факторинг  Анализ финансовых западных рынков 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 [ 21 ] 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92

гипотезой. Мы выбрали гауссов случай в качестве нулевой гипотезы, потому что с математической точки зрения легче проверить, является ли процесс случайным блужданием и иметь возможность сказать, что он таковым не является, чем доказать существование дробного броуновского движения (или какого-то иного процесса с долговременной памятью). Почему? Гауссов случай позволяет находить оптимальные решения и легко моделируется. Кроме того, в основе гипотезы эффективного рьшка (ЕМН) лежит гауссов случай, который по умолчанию становится нулевой гипотезой.

Херст (1951) основывал свою нулевую гипотезу на биноминальном распределении и подбрасывании монет. Его результат для случайных блужданий -частный случай уравнения (4.7):

(R/S) = (n*/2) (5.1)

где п = количество наблюдений

Феллер (Feller, 1951) пришел к схожему результату, но он работал строго с откорректированным диапазоном R. Херст постулировал уравнение (5.1) для нормированного размаха, но оно фактически не было доказано в формальном смысле. Феллер работал с откорректированным диапазоном (то есть накопленные отклонения с удаленным выборочным средним) и пришел к ожидаемому значению R и его дисперсии. Нормированный размах, R/S, считался трудноразрешимым из-за поведения выборочного стандартного отклонения, особенно для небольших значений N. Существовало мнение, что результат был достаточно близок, так как откорректированный диапазон мог быть решен и должен был асимптотически (то есть в бесконечности) быть эквивалентным нормированному размаху.

Феллер (1951) вывел следующие формулы, которые были, по существу, идентичны уравнению Херста (5.1) для ожидаемого значения откорректированного диапазона, а также вычислил его дисперсию:

E(R(n)) = (n*/2) (5.2)

Var(E(R(n))) = {7tl6-7t /2)*п (5.3)

Формула дисперсии, уравнение (5.3), задает дисперсию для одного значения R(n). Поскольку мы можем ожидать, что значения R/S случайного числа будут нормально распределенными (позднее мы покажем это посредством имитации), по мере увеличения числа выборок дисперсия R(n) уменьшится. Например, если мы имеем временной ряд, который состоит из N = 5 ООО наблюдений, у нас есть 100 независимых выборок R(50), если мы используем непересекающиеся периоды времени. Поэтому ожидаемая дисперсия нашей выборки будет Var(E(R(n)))/100, как показано в элементарной статистике.

Уравнения (5.1) и (5.2) - стандартные предположения согласно нулевой гипотезе броуновского движения. Диапазон увеличивается как квадратный корень из времени. Херст пошел немного далее и предположил, что нормированный размах также увеличивается с квадратным корнем из времени. Феллер также говорил, что дисперсия диапазона увеличивается линейно со временем. Ни один из результатов не является особенно удивительным, если учесть наши рассуждения в Главе 4. Тем не менее, теперь у нас есть доступ к инструментам, которые, в частности, Херст, счел бы очень полезными.



Моделирование методом Монте-Карло

Инструментом, облегчившим работу, стал персональный компьютер. Благодаря генераторам случайных чисел мы можем использовать процесс, описанный в Главе 4, особенно уравнения (4.7) и (4.8), и смоделировать много выборок значений R/S. Мы можем вычислить средние значения и дисперсии опытным путем и определить, соответствуют ли они уравнениям (5.1), (5.2) и (5.3). Этот процесс представляет собой моделирование широко известным методом Монте-Карло , которое особенно подходит для проверки гауссовой гипотезы.

Преаде чем мы начнем, мы должны разобраться с мифом о случайных числах . Ни один генератор случайных чисел не производит истинные случайные числа. Вместо них алгоритм производит псевдослучайные числа - числа, которые являются статистически независимыми согласно большинству гауссовых признаков. Эти псевдослучайные числа фактически имеют длинный цикл, или память, после которого они начинают повторяться. Как правило, циклы достаточно длинны для того, чтобы повторение не обнаруживалось. Недавно, однако, было найдено, что псевдослучайные числа могут исказить результаты, когда большие количества данных используются в моделированиях по методу Монте-Карло. Обычно мы не сталкиваемся с этой проблемой в финансовой экономике. Однако многие из алгоритмов, используемых в качестве генераторов случайных чисел, являются версиями хаотических систем. R/S-анализ особенно хорошо справляется с раскрытием детерминированного хаоса и процессов с долговременной памятью. Поэтому чтобы гарантировать случайность наших испытаний, все ряды случайных чисел в этой книге перед использованием перемешиваются согласно двум другим рядам псевдослучайных чисел. Этот метод не устраняет всю зависимость, но сводит ее к фактически неизмеримым уровням, даже для R/S-анализа.

Мы начнем с ряда псевдослучайных чисел, содержащего 5 ООО значений (нормально распределенных с нулевым средним и стандартным отклонением равным единице), которые дважды перемешиваются. Мы вычисляем значения R/S для всех п, которые являются ровно делимыми на 5 ООО; то есть каждое значение R/Sn будет всегда включать начальное и конечное значение полного временного ряда. Затем мы повторяем этот процесс 300 раз, так чтобы у нас было 300 значений R/S для каждого п. Среднее этих R/S - ожидаемое значение E(R/Sn) для системы гауссовых случайных чисел. Рассчитываются дисперсии, и конечные значения сравниваются со значениями, полученными с использованием уравнений (5.1), (5.2) и (5.3). Результаты показаны в таблице 5.1 и фафически изображены на рисунке 5.1.

Смоделированные значения R/Sn стремятся к значениям, полученным в уравнениях (5.1) и (5.2), когда п больше 20. Однако для меньших значений п существует согласованное отклонение. Значения R/Sn, созданные моделированием, систематически ниже значений, полученных в уравнениях Феллера и Херста. Дисперсии R/Sn были также систематически ниже, чем уравнение Феллера (5.3). Херст, тем не менее, знал, что он вычисляет асимптотическое отношение, то есть такое отношение, которое будет верным только для большого п. Феллер также знал это. Нормирование представляло еще одну проблему.



Таблица 5.1 Оценки значений log (R/S)

Число наблюдений

Монте-Карло

Херст

Энис И Ллойд (1976)

Эмпирическая поправка

0,4577

0,5981

0,4805

0,4582

0,6530

0,7486

0,6638

0,6528

0,7123

0,7970

0,7208

0,7120

0,8332

0,8991

0,8382

0,8327

0,8891

0,9475

0,8928

0,8885

1,0577

1,0981

1,0589

1,0568

1,1097

1,1465

1,1114

1,1097

1,2190

1,2486

1,2207

1,2196

1,2710

1,2970

1,2720

1,2711

1,4292

1,4475

1,4291

1,4287

1,4801

1,4960

1,4795

1,4792

1.000

1,5869

1,5981

1,5851

1,5849

1.250

1,6351

1,6465

1,6349

1,6348

2.500

1,7839

1,7970

1,7889

1,7888

Среднеь вадратическая

0,0035

0,0001

0,0000

с шибка:


Simulation

1.5 2 2.5 3

Log(Number of Observations)

РИСУНОК 5.1 Значения R/S, моделирование методом Монте-Карло против уравнения

Херста.

Феллер работал с откорректированным диапазоном, а не с нормированным размахом. Соотносилось ли масипвбное поведение стандартного отклонения с диапазоном для маленьких значений п, вызывавшем это отклонение? Факт остается фактом - среднее значение R/S-стагистики весьма отличается от значения, предсказанного в соответствии с теорией Феллера.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 [ 21 ] 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92