Тел.факс: +7(831)437-66-01
Факторинг  Анализ финансовых западных рынков 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 [ 22 ] 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92

Много лет спустя Энис и Ллойд (1976) вывели следующее уравнение, чтобы обойти системагаческое отклонение R/S-статистики для небольшого п:

П-]

E(R/Sn) = [Г{0,5*(п-Ш *Г(0,5*п))]*{п-г)1г

(5.4)

/=1

Вывод этого уравнения выходит за рамки данной книги. Те, кто интересуется выводом этого уравнения, могут найти его в книге Эниса и Ллойда (Anis and Lloyd, 1976). Для больших значений п уравнение (5.4) становится менее полезным, потому что значения гаммы становятся слишком большими для памяти большинства персональных компьютеров. Тем не менее, благодаря использованию функщти Стерлинга уравнение может быть упрощено к следующему виду:

-1

E(R/Sn) = (п* п f2f* V (5-5)

Уравнение (5.5) может использоваться, когда п > 300. По мере того, как п становится больше, уравнение (5.5) приближается к уравнению (5.2). Уравнения (5.4) и (5.5) приспосабливаются для распределения дисперсии нормального распределения, чтобы следовать за распределением гаммы; то есть стандартное отклонение изменяет масштаб медленнее, чем диапазон для небольших значений п. Следовательно, нормированный размах будет изменять масштаб быстрее (Н будет больше 0,50), когда п имеет небольшие значения. Мандельброт и Уоллис (1969а,Ь,с) называли область небольшого п переходной , потому что п не было достаточно большим для наблюдения надлежащего поведения. Однако в экономике редко имеется достаточно исходных точек, чтобы отказаться от меньших п: иногда это все, что мы имеем. Мандельброт и Уоллис не начинали исследование поведения масштабирования до Н = 20. Теоретачески ожидалось, что формула Эниса и Ллойда объяснит поведение, наблюдаемое при экспериментах методом Монте-Карло. Результаты приведены в таблице 5.1 и на рисунке 5.2.

Anis & Lloyd


Simulation

1.5 2 2.5 3

Log(Number of Observations)

РИСУНОК 5.2 Значения R/S, моделирование методом Монте-Карло против уравнения

Эниса и Ллойда.



Таблица 5.2 Оценки значений log (R/S)

Чис 10 наблюдений Перемешанный1ндекс S&P 500 Монте-Карло

0,45.51

0,4577

0,64 М

0,6530

0,7055

0,7123

0,8812

0,8891

1,0472

1,0577

1,1012

1,1097

1,25)1

1,2710

Существует некоторое продвижение, но уравнения (5.4) и (5.5) все еще производят значения R/S для небольшого п, которые вьш1е выборочных значений.

Кроме того, существует возможность того, что результаты вызваны смещением, происходящим в генераторе псевдослучайных чисел, которое не уменьшается при двойном перемешивании. Возможно, объем выборки 300 все еще недостаточен. Для проверки смещения выборки использовался независимый ряд чисел. Этот ряд составляли 500 ежемесячных изменений индекса S&P 500, нормализованных к нулевому среднему и единичной дисперсии. Перед началом эксперимента эти числа перемешивались 10 раз. Затем они беспорядочно перемешивались 300 раз, и вычислялись значения R/S, как и прежде. Результаты приведены в таблице 5.2. Они фактически неотличимы от гауссова генерированного ряда. Результаты еще более замечательны, когда мы полагаем, что рыночные прибыли не являются обычно распределенными; они имеют толстые хвосты и высокий пик в среднем значении, даже после перемешивания. Судя по этим результатам, мы можем сказать, что в формуле Эниса и Ллойда чего-то не хватает для значений п меньше 20. Чего в ней не хватает - неизвестно. Тем не менее, опытным путем я смог вывести поправку к формуле Эниса и Ллойда. Эта поправка умножает (5.4) и (5.5) с поправочным коэффициентом и дает:

E(R/Sn) = ((п - 0,5)/п)*(п* п /г) - * Y4n-r)lr (5.6)

/=1

Результаты этой поправки, полученной опытным путем, показаны в Таблице 5.1 и на рисунке 5.3. Поправка очень близко подходит к смоделированным значениям R/S. Начиная с этого момента, все ожидаемые значения R/S согласно случайной нулевой гипотезе будут генерироваться с использованием уравнения (5.6).

Ожидаемое значение показателя Херста

Используя результаты уравнения (5.6), теперь мы можем произвести ожидаемые значения показателя Херста. Судя по таблице 5.1 и рисунку 5.3, мы можем ожидать, что показатель Херста будет значительно выше 0,50 для значений меньше 500, что снова показывает, что Н = 0,50 для независимого процесса является асимптотическим пределом. Ожидаемый показатель Херста будет, конечно, изменяться в зависимости от



значений п, которые мы используем для построения регрессии. Теоретически, будет подходить любой диапазон, пока изучаемая система и ряд E(R/S) охватывают одинаковые значения п. В соответствии с основной целью этой книги, которой является финансовая экономика, мы начнем с п = 10. Конечное значение п будет зависеть от исследуемой системы. В работе (Peters, 1991а) было обнаружено, что ежемесячные прибыли S&P 500 имеют постоянное масштабирование для п < 50 месяцев, при этом Н = 0,78. Как показано на рисунке 5.4, Е(Н) равно 0,613 для 10 < п < 50, что является значительно более низким значением - по крайней мере, оно выглядит значительно более низким. Но действительно ли это так?

1 -

Corrected Formula

Simulation

РИСУНОК 53 Значения R/S, моделирование методом Монте-Карло против исправленного уравнения Эниса и Ллойда.

15 и

й 10 I-

10,000 obvs

5,000 obvs -

500 obvs



1,000 obvs

jL.: s::.. : t..,.--r

0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75

Hurst Exponent

РИСУНОК 5.4 E(H) для 10 <n <50, ненормализованная частота в процентах.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 [ 22 ] 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92