Тел.факс: +7(831)437-66-01
Факторинг  Анализ финансовых западных рынков 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 [ 25 ] 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92

13 ARMA(1,1) E{R/S)

о *♦-

се I 1 / /

с/5 >

/ V

AR(1) Residual

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Log(Number of Observations)

РИСУНОК 5.8 V-статистика, процесс ARMA (1,1).

Рисунок 5.8 показывает, что модель ARMA (1,1) может сместить R/S-анализ, потому что она представляет собой процесс с бесконечной памятью, подобный процессу AR(1), хотя она включает член МА(1). Однако график также показывает, что использование AR(l)-paзнocтeй сводит эту проблему к минимуму.

ARIMA модели

И модели AR, и модели ARMA могут быть включены в более общий класс процессов. Авторегрессионные интегрированные модели скользящего среднего (AR1MA) специально используются для временных рядов, которые являются пестационариъш - эти процессы обладают основной тенденцией в их среднем значении и дисперсии. Однако при использовании последовательных разностей данных результат является стационарным.

Например, ряд цен нестационарен просто потому, что он имеет долгосрочный компонент роста. Он может расти неофаниченно, так что сама цена не будет стремиться к среднему значению. Однако для гипотезы эффективного рынка (ЕМН) общепринятым является тот факт, что изменения в цене (или прибыли) стационарны. Как правило, изменения цены определяются как изменения в процентах или, в данном случае, логарифмические разности. Тем не менее, это - только первая разность. В некоторых рядах для того, чтобы сделать данные стационарными, могут понадобиться разности более высокого порядка. Например, разность разностей - ARIMA процесс второго порядка. Он может достичь более высоких разностей.

Поэтому мы можем сказать, что С является гомогенным нестационарным



процессом порядка d, если:

w,= AQ (5.12)

является стационарным. Д представляет собой вычисление разностей, а d представляет собой необходимое количество действий по вычислению разностей. Например:

AQ = C,-Q.,

AQ= АС,- АСи

и т.д.

Если Wt является процессом ARMA(p,q), то С, считается интегрированным авторегрессионным процессом скользящего среднего порядка (p,d,g), или процессом ARIMA(p,d,q). Напомним, что р - число авторегрессионных членов, а q - число членов скользящего среднего. Параметр d относится к числу необходимых действий по вычислению разностей. Нет необходимости смешивать этот процесс. Если Ct -процесс ARIMA (p,d,0), tow, - процесс AR(p). Аналогично, если Ct - процесс ARIMA (0,d,q),tow,-MA(0,q).

Что касается цен, метод, применяемый для придания стационарности процессу - использование AR(l)-paзнocтeй. Поэтому здесь не нужны дополнительные моделирования. Однако классическая модель ARIMA(p,d,q) принимает целочисленное вычисление разностей. Смягчая предположение о целом числе, дробное вычисление разностей учитывает широкий диапазон процессов, включая персистентность и антиперсистентность процесса Херста (более подробно обсуждаемые в Главе 13). ARIMA класс обсуждается здесь для полноты исследования и в качестве подготовки к методу дробного вычисления разностей, или моделям ARFIMA.

Модели ARCH

Модели, которые показывают авторегрессионную условную гетероскедастичность (ARCH), стали популярны за прошедшие несколько лет по ряду причин:

1. Они являются семейством нелинейных стохастических процессов, в

противоположность линейно-зависимым процессам AR и МА;

2. Их частотное распределение имеет высокий пик и толстые хвосты;

3. Эмпирические исследования показали, что финансовые временные ряды

проявляют статистически существенную ARCH.

Но что такое ARCH?

Основная модель ARCH была разработана Инглом (Engle, 1982). Ингл рассматривал временные ряды, которые определялись нормальными распределениями вероятности за исключением зависящих от времени дисперсий; ожидаемая дисперсия процесса зависела от того, каковой она была до этого. Дисперсия, устойчивая для индивидуальных распределений, казалась изменяющейся



во времени , отсюда и условная гетероскедастичностъ в названии процесса. Процесс также авторегрессивен в том, что он обладает временной зависимостью. Выборочное частотное распределение стало бы средним этих расширяющихся и сокращающихся нормальных распределений. Как таковое, оно было бы распределением с высоким пиком и толстыми хвостами в любой точке времени. Основная модель ARCH была определена следующим образом:

Ср - Sn*efi

5;=f +e:-, (5.13)

где е = стандартная нормальная случайная переменная f = константа

Для удобства fo = 1 и f = 0,50 считаются типичными значениями. Мы можем видеть, что модель ARCH схожа с моделями AR, рассмотренными ранее: наблюдаемое значение С снова является результатом ненаблюдаемого ряда е, который зависит от своих прошлых реализаций. Однако модель ARCH нелинейна. Небольшие изменения, вероятно, будут сопровождаться другими небольшими изменениями, а большие изменения - другими большими изменениями, но знак будет непредсказуем. Кроме того, поскольку ARCH нелинейна, большие изменения расширятся, а небольшие изменения сократятся. Это приводит к распределению с толстыми хвостами и высоким пиком.

Модель ARCH была изменена, чтобы придать зависимость от прошлого также и переменной s. Боллерслев (Bollerslev, 1986) формализовал обобщенную модель ARCH (или GARCH) следующим образом:

Ср - Sn*en

!=f -**e,;,-g*L (5.14)

GARCH типично 3aaaeTfo = 1, f = 0,10 и g = 0,80, хотя все три переменные могут варьироваться от О до 1. GARCH таюке создает частотное распределение с толстыми хвостами и высоким пиком. Уравнения (5.13) и (5.14) - основная модель ARCH и модель GARCH; существует много вариаций. (Читатели, желающие получить более полную картину, могут обратиться к работе Боллерслева, Чоу и Кронера (Bollerslev, Chou and Kroner, 1990), которые провели превосходное исследование). Расширенные модели ARCH и GARCH точно регулируют характеристики таким образом, чтобы модели лучше соответствовали эмпирическим наблюдениям. Однако для наших целей будет мало изменений в свойствах масштабирования процесса ARCH или GARCH, хотя изменения улучшают теоретические аспекты моделей. Мы исследуем эти другие улучшения в Главе 14.

Поскольку основная модель ARCH и модель GARCH имеют много характеристик, которые соответствуют эмпирическим данным, моделируемые значения ARCH и GARCH являются превосходной проверкой R/S-анализа.

На рисунке 5.9 показан график V-статистики для модели ARCH, как описано выше. Модель имеет отличительный R/S-спектр, значения которого для короткого



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 [ 25 ] 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92