Тел.факс: +7(831)437-66-01
Факторинг  Анализ финансовых западных рынков 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 [ 27 ] 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92

Часть 2. Фрактальный R/S анализ

~мпт1Ж1жтм гп-п лтдптчпп г п гп \ тт i i i i i

В астрономии было замечено, что блуждающие звезды, планеты, не следовали правильным путем, а часто за короткий срок полностью меняли направление. Греки продолжали верить, что природа не вынесла бы любую планетарную систему, которая не состояла бы из совершенных окружностей, описанных ранее Аристотелем. В результате Птолемей и его последователи разработали сложные схемы, чтобы показать, что наблюдаемая нерегулярность могла быть следствием ненаблюдаемой регулярности. Например, явление изменения направления движения планет объяснялось следующим образом. Во время вращения вокруг земли (по совершенной окружности) планеты также двигались по меньшей орбитальной окружности, аналогично тому, как наша Луна вращается вокруг Земли, в то время как и Луна, и Земля вращаются вокруг Солнца. Два правильных движения, происходящие одновременно, приводят к наблюдаемому неправильному движению. Этот метод объяснял неправильность планетарных движений, сохраняя при этом идею о том, что структура, лежащая в основе природы, была все же правильной. Птолемеева модель работала хорошо для объяснения наблюдений и предсказания планетарных движений далеко в будущем. К сожалению, лежащая в его основе теория была неправильна. В анализе временного ряда внимание таюке было сосредоточено на регулярных, периодических циклах. В анализе Фурье мы предполагаем, что временные ряды неправильной формы являются суммой нескольких периодических синусоидальных волн, каждая из которых имеет отличающиеся частоты и амплитуды. Спектральный анализ пытается разбить наблюдаемый нерегулярный временной ряд, без очевидного цикла, на эти синусоидальные волны. Пики в спекфальной функции считаются доказательством циклического поведения. Подобно Птолемеевой модели вселенной спекфальный анализ налагает ненаблюдаемую периодическую структуру на наблюдаемый непериодический временной ряд. Вместо окружности мы имеем синусоидальную или косинусоидальную волну.

Грэнджер (Granger, 1964) бьш первым, кто предположил, что спектральный анализ может бьпь применен к рыночному временному ряду. Его результаты были неубедительными. С течением времени были выполнены различные преобразования данных, чтобы найти признаки циклов, так как интуиция подсказывала, что они там были; но они не могли быть найдены. Наконец, большинство исследователей отказалось от попыток и решило, что циклы походили на удачливые серии азартных игроков-то есть представляли собой иллюзии.

К сожалению, нет никакой интуитивной причины полагать, что основа рынка или экономических циклов имеет какое-либо отношение к синусоидальным волнам или любому другому периодическому циклу. Спектральный анализ бьш бы несоответствующим инструментом для анализа рьшочных циклов. В теории хаоса непериодические циклы существуют. Эти циклы имеют среднюю продолжительность, но точная продолжительность будущего цикла неизвестна. Здесь ли стоит искать? Если да, то нам нужен более надежный инструмент для анализа цикла, инструмент, который может обнаружить и периодические, и непериодические циклы. К счастью, R/S-анализ может выполнить эту функцию.

Мы начнем эту главу с исследования эффективности R/S-анализа в раскрытии периодических циклов, даже когда циклы накладьшаются друг на друга. Затем мы



2 1.8 1.6 1.4

0.8 0.6 0.4

100 Observations

0.5 I 1.5 2 2.5 3 3.5

Log(Number of Observations)

РИСУНОК 6.1 R/S-анализ, синусоидальная волна: цикл = 100.

На рисунке 6.1 представлен фафик в логарифмическом масштабе по обеим осям для синусоидальной волны с длиной цикла в 100 итераций. Разрыв при t = 100

обратимся к непериодическим циклам и хаотическим системам. Глава заканчивается исследованием некоторых естественных систем, которые, как известно, обнаруживают непериодические циклы. К анализу рынков мы перейдем в Главе 7.

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ

Херст (Hurst, 1951) был первым, кто понял, что лежащий в основе периодический компонент мог быть обнаружен с помощью R/S-анализа. Периодическая система соответствует предельному циклу или подобному типу аттрактора. По существу, ее портрет фазового пространства является офаниченным множеством. В случае синусоидальной волны временной ряд будет офаничен амплитудой волны. Поскольку диапазон никогда не может вырасти за пределы амплитуды, значения R/S достигнут максимального значения после одного цикла. Мандельброт и Уоллис (Mandelbrot and Wallis, 1969a-1969d) провели большое количество компьютерных моделирований, особенно учитывая доступную в то время технологию. Здесь мы повторим и дополним некоторые из их экспериментов, чтобы показать поведение R/S-анализа в присутствии периодических компонентов. Мы начинаем с простой синусоидальной волны:

Y, = sin(t) (6.1)

где t = показатель времени



абсолютно очевиден. Другие методы, такие как спектральный анализ, могут с легкостью найти такие простые периодические компоненты. Важно то, как R/S-анализ фиксирует этот процесс. По существу, как только синусоидальная волна охватила полный цикл, ее диапазон прекращает расти, так как он достиг своей максимальной амплитуды. Ее максимальный диапазон, от пика до впадины, не больше для 500 наблюдений, чем для 100. Средний R/S прекращает расти после 100 наблюдений.

Карл Вейерштрасс (Karl Weirstrass), немецкий математик, создал первую фрактальную функцию. Эта функция была повсюду непрерывна, но нигде не была дифференцируема. Функция - бесконечная сумма рядов синусоидальных (или косинусоидальных) волн, в которых амплитуда уменьшается, в то время как частота увеличивается в соответствии с различными коэффициентами. Уэст (West, 1990) использовал эту функцию экстенсивно в качестве введения во фрактальные временные ряды. Здесь мы увидим, как R/S-анализ может определить не только первичный цикл, но также и основные циклы, пока количество подциклов является небольшим, конечным числом.

Функция Вейерштрасса наютадывает бесконечное число синусоидальных волн. Мы начинаем с главной, или основной частоты w с амплитудой 1. Добавляется второй гармонический член с частотой bw и амплитудой 1/а, где а и b больше 1. Третий гармонический член имеет частоту b w и амплитуду 1/а . Четвертый член имеет частоту b w и амплитуду l/a . Как обычно происходит с непрерывной функцией, прогрессия продолжается бесконечно. Каждый член имеет частоту, которая является степенью Ь, большей чем предыдущая, и амплитуду, которая является степенью меньшего а. Используя уравнение (1.5) из Главы 1, мы видим, что фрактальная размерность D этой кривой будет In(a)/ln(b). Формальное уравнение функции Вейерштрасса выглядит следующим образом, будучи записанным в качестве ряда Фурье:

F(t)= Y,l/a *cos(b *w*t)

На рисунке 6.2 показана функция Вейерштрасса с использованием первых четырех членов (п = 1 - 4). На рисунке 6.3 показаны первые четыре члена в разрыве, чтобы раскрыть наложение циклов. Заключительный фафик - сумма четырех синусоидальных волн, каждой со своей частотой и амплитудой. Для небольших приращений времени диапазон будет постоянно увеличиваться, пока он не пересечет продолжительность цикла наименьшей частоты. Он снова начнет расти со следующей более длинной частотой, но на него также наложится более короткая частота, что приведет к более шумному циклу. Этот диапазон продолжит расти, пока он не достигнет конца своего цикла; после этого диапазон прекратит расти, пока он не поймает следующую, более длинную частоту. Диапазон для этой частоты опять будет расти, но на него будут наложены две другие более короткие частоты. В результате он будет казаться еще более шумным. Заключительная, самая длинная частота будет реагировать также как другие.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 [ 27 ] 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92