включающие и начальные и конечные точки; то есть мы используем четные приращения времени. Ранее использовались все приращения времени п. Если в конце оставалось менее п точек данных, они не использовались. Это мало влияло на значения R/S для небольших значений п, поскольку имеется много выборок R/S, и число оставшихся точек является небольшим. Например, временной ряд с числом наблюдений Т = 500 имеет 12 значений R/S для п = 40 при 20 неиспользованных наблюдениях, или 4 процентах выборки. Среднее 12 выборок будет хорошей оценкой истинного значения R/S50, а воздействие неиспользованных 20 наблюдений будет минимальным. Однако для п = 200 будет только два значения и 100 неиспользованных наблюдений, или 20 процентов выборки. Значение К/82ю будет неустойчивым для 500 наблюдений; то есть на значение R/S может повлиять начальная точка. Вследствие этого небольшое количество значений R/S200 для временного ряда в 500 наблюдений вюдит в заблуждение. Использование значений п, которые используют и начальные и конечные точки (шаг 2 в Главе 4), значительно уменьшает это смещение.

Даже когда этот метод устраняет смещение, он представляет другую проблему. Поскольку мы используем четные приращения времени, нам нужно такое значение Т, которое предлагает наибольшее количество делителей, чтобы бьшо приемлемое число значений R/S. Следовательно, нечетные значения Т, такие как 499, не должны использоваться. Было бы лучше использовать 450 точек данных с 9 делителями, а не 499 точек с двумя делителями, даже несмотря на то, что 499 точек данных больше 450. Наличие большего количества значений R/S, несомненно, более желательно, чем наличие большего количества точек данных, когда нас интересует масштабирование R/S.

ДАННЫЕ

Глава 8 начинается с ряда фактов, взятых из архива ежедневных данных о ценах согласно индексу Доу-Джонса для акций промышленных компаний. Этот ценовой архив, который охватывает период с января 1888 г. по декабрь 1990 г., или 102 года ежедневных данных, содержит 26 520 точек данных. Как мы обсудили выше, большое количество точек данных - это не все, что требуется. Также необходим длительный интервал времени. Кажется, что этот архив выполняет оба требования. Мы будем рассчитьшать прибьши для различных горизонтов времени, чтобы проследить, изменяется ли поведение R/S в зависимости от используемого приращения времени. Это предполагает осуществление выборки временного ряда в различных интервалах. С таким длинным рядом мы можем исследовать, может ли избыточная выборка привести к смещениям. Мы можем ожидать, что по мере изменения интервала выборки произойдет следующее:

1. Показатель Херста, возможно, увеличится по мере того, как мы будем увеличивать интервал выборки. В более коротких интервалах или при более высоких частотах обязательно будет большее количество шума в данных. Менее частое осуществление выборки должно минимизировать воздействие шума и устранить воздействие любого фрактального шума, который может существовать на более высокой частоте. Как мы видели в функции

Вейерштрасса, добавление циклов более высокой частоты делает временной ряд более изрезанным, и таким образом уменьшает показатель Херста (или увеличивает фрактальную размерность). Менее частая выборка перескакивает через более высокие частоты.

2. Любые циклы , которые существуют в более длинных интервалах, должны остаться. Если цикл появляется в 1 ООО однодневных интервалов, он все еще должен быть очевиден в 100 десятидневных интервалах.

3. Если процесс представляет собой гауссовы случайные блуждания, первые две точки не сохранятся. Белый шум кажется одинаковым на всех частотах (подобно шипению , которое мы слышим на магнитофонных лентах и которое звучит одинаково на всех скоростях). И, кроме того, нет никаких циклов. Если разрыв графика R/S появляется в однодневном, а не в десятидневном интервале, разрыв в дневном графике был артефактом, а не истинным циклом.

АНАЛИЗ СТАБИЛЬНОСТИ

Используя длинные временные ряды, мы сможем изучить стабильность R/S-анализа. Грин и Филиц (Green and Fielitz, 1977, 1979) предположили, что R/S-анализ должен идеально подходить ко всем начальным точкам. Это подразумевало бы, что значение R/S может быть средним значением перекрывающихся периодов времени. Нет причины полагать, что этот подход обоснован, хотя, на первый взгляд, он, казалось бы, помогает при наличии короткого набора данных. Однако использование перекрываю1цихся периодов означает, что оценка R/S не является результатом независимой выборки из временного ряда без возвращения. Вместо этого выборка осуществляется с возвращением. Все испытания на надежность, представленные в предыдущих главах, требуют независимых выборок (без возвращения). Каждый раз, когда мы вычисляем значение R/S для значений п, мы берем выборку. Если эти выборки независимы, мы можем их усреднить и оценить значимость среднего значения R/S для значений п, R/Sn, используя вышеописанные методы. Ecjm для среднего значения мы используем перекрывающиеся интервалы, у нас больше нет инструментов, позволяющих судить о значимости оценки R/S.

В соотвегствии с более приемлемым подходом R/S-анализ выполняется повторно с другой начальной даты. Получаемые в результате оценки R/Sn и показателя Херста сравниваются с предыдущими оценками, чтобы определить, значительно ли различаются результаты. Ранее определенная статистика может использоЕзаться для оценки значимости. Длинный временной ряд, такой как данные индекса Доу-Джонса для акций промышленных компаний, позволит нам использовать R/S-анализ для интервалов, которые начинаются с промежутком в десять лет. Используя эту методологию, мы можем проверить, значительно ли изменились основные статистические характеристики рынка, а также раз и навсегда проверить, действительно ли рьшок подвергается тому типу структурного изменения , который уже давно используется специалистами по эконометрике в

у.Методология изучения проблемы

качестве оправдания.

Данные о минимальных колебаниях курса для индекса S&P 500 со 2 января 1989 г. по 31 декабря 1992 г., или данные за четыре года, проанализированы в Главе 9. Эта информация представляет наибольший интерес для трейдеров и может дать десятки тысяч точек данных. Однако необходимо учитывать важные проблемы избыточной выборки и кратковременной памяти. Этот ряд высокочастотных данных предлагает возможность понять, насколько серьезны эти проблемы при анализе торговых данных.

В Главе 10 исследуется волатильность, реализованная и прогнозируемая. В отличие от других рядов волатильность антиперситентна. Мы исследуем две меры волатильности и сравним их.

Инфляция и золото являются предметами Главы 11. В отличие от данных о минимальных колебаниях курса эти временные ряды показывает возможные проблемы недостаточной выборки.

В Главе 12 исследуется валюта, которая известна как рьшок с сильными трендами (strongly trending markets). Мы обнаружим, что она несколько отличается от других изученных нами инвестиционных механизмов.

Часть 3, прежде всего, связана с вьшолнением R/S-анализа и соответствующими трудностями; в этой части не рассматривается причина долговременной памяти, а только ее измерение. Возможные причинь! являются предметом Частей 4 и 5. Существует много погенциальных источников долговременной памяти, и в последних частях книги представлены аргументы в пользу всех из них, в контексте гипотезы фрактального рынка.