ЧЕРНЫЙ ШУМ: 0,50 < Н < 1,0

Процесс Херста, который, по существу, является процессом черного шума, уже широко обсуждался. Подобно розовому шуму, кажется, что в природе существует большое количество процессов черного шума. Розовые шумы происходят в процессах релаксации, таких как турбулентность. Черный шум появляется в длительных циклических данных наблюдений, таких как уровни рек, число солнечных пятен, толщина годовых колец, а также изменения цен на фондовом рынке. Процесс Херста является одним возможным объяснением появления черного шума, но есть и другие причины существования во временном ряду персистентности. В Части 5 мы обсудим возможность шумового хаоса . В этом разделе мы исследуем дробное броуновское движение.

Эффект Иосифа

Дробное броуновское движение (fractional brownian motion - FBM) представляет собой обобщение броуновского движения, которое долгое время использовалось как процесс диффузии по умолчанию , как мы неоднократно говорили ранее. По существу, если изучаемый процесс неизвестен, и вовлечено большое число степеней свободы, то броуновское движение является столь же хорошим объяснением, как и любое другое объяснение. Поскольку броуновское движение и его свойства так широко и хорошо изучены, оно также делает доступным большое количество математических инструментов для анализа. Однако, как мы видели, широкая распространенность вероятностных процессов и броуновского движения - это миф. Херст обнаружил, что большинстю процессов персистентно и обладает эффектами долговременной памяти. Это нарушает предположение, которое делает процесс случайным, понижая, таким образом, надежность большинства таких инструментов. Частью проблемы является ограничительное предположение, необходимое для броуновского движения - и гауссовой статистики, которая лежит в его основе. Эго становится частным случаем, а не общим случаем. Возможно, самая широко распространенная ошибка в анализе временного ряда - предположение о том, что большинство рядов должно быть принято как броуновское движение, пока не доказано обратное. Обратное должно иметь место.

Броуновское движение первоначально изучалось как беспорядочное движение маленькой частицы, взвешенной в жидкости. Роберт Броун (Brown, 1828) понял, что это беспорядочное движение бьшо свойством самой жидкости. Теперь мы знаем, что беспорядочное движение происходит из-за столкновения молекул воды с частицей. Башелье (Bachelier, 19(Ю) выявил взаимосвязь между случайным блужданием и гауссовой статистикой.

Эйнштейн (Einstein, 1908) увидел взаимосвязь между броуновским движением и случайным блужданием. В 1923 г. Винер (Weiner, 1976) смоделировал броуновское движение как случайное блуждание, с лежащей в основе гауссовой статистической структурой. Федер (Feder, 1988) объяснил этот процесс следующим образом.

Возьмем Х(0 как положение случайной частицы во времени t. Пусть {е} будет гауссовым вероятностным процессом с нулевым средним и единичной дисперсией,

состоящим из случайного числа, помеченного как е. Изменение положения случайной частицы со времени to ко времени t задается следующим:

X(t)-X(to)==e*t-t , fort>t (13.5)

где И = 0,50 для броуновского движения

Как сказал Федер (Feder, 1988): Положение X(t) находится, если дано положение X(t()), посредством выбора случайного числа е из гауссова распределения, умножая его на приращение времени t - t of и прибавляя результат к данному положению X (to) .

Для дробного броуновского движения мы обобщаем Н таким образом, чтобы оно могло варьироваться от О до 1. Если теперь мы задаем Bn(t) как положение частицы в FBM, дисперсия изменений положения изменяет масштаб во времени следующим образом:

V(t-to) = t-t<,* (13.6)

Для Н = 0,50 это сводится к классическому гауссову случаю. Дисперсия увеличивается линейно со временем, или стандартное отклонение увеличивается как квадратньиТ корень из времени. Однако FBM имеет дисперсии, которые изменяют масштаб быстрее броуновского движения, когда 0,5 < Н < 1. Согласно (13.3) стандарттюе отклонение должтю увеличиваться со скоростью, равной Н. Таким образом, персистентный процесс черного шума будет иметь дисперсии, которые ведут себя очень подобно масштабироватшю рьшков капитала, которое мы исследовали в Главе 2. Однако те процессы действительно увеличивались медленнее П. Индекс Доу-Джонса для акций промышленных компаний изменял масштаб как 0,53 корня из времени, в то время как Н = 0,58. Аналогично, стандартное отююнение обменного курса иена/доллар изменяло масштаб как 0,59 корня из времени, в то время как Н = 0,62. Идея, стоящая за уравнением (13.6), правильна, но она нуждается в дальнейшем усовершенствовании. Мы оставляем это для будущего исследования. Тем временем, мы можем сказать, что между масштабированием дисперсии и Н существует взаимосвязь. Точный характер этой взаимосвязи остается неясным.

Кроме того, корреляция между приращениями C(t) определяется следующим образом:

C(t) = 2* >-1 (13.7)

Это уравнение выражает корреляцию изменений в положении процесса за время t со всеми приращениями времени t, которые предшествуют ему и следуют за ним. Таким образом, в рыночных терминах это была бы корреляция всех однодневных прибылей со всеми будущими и прошлыми однодневными прибылями. Это также относилось бы к корреляции всех пятидневных прибылей со всеми прошлыми и будущими пятидневными прибылями. Фактически, с теоретической точки зрения, это относилось бы ко всем приращениям времени. Это является мерой силы эффекта долговременной памяти, которая охватьшает все масштабы времени.

Когда процесс находится в броуновском движении с Н = 0,50, C(t) равно нулю. Эффекта долговременной памяти нет. Когда О < Н < 0,50, C(t) отрицательно. В данном

случае имеет место эффект инверсии, который происходит в многократных масштабах времени. Мы видели аналогичный эффект для антиперсистентного процесса розового шума. Тем не менее, когда процесс представляет собой черный шум с 0,5 < Н < 1,0, мы имеем бесконечные длительные корреляции; то есть мы имеем эффект долговременной памяти, который происходит в многократных масштабах времени, или на инвестиционных горизонтах рьшков капитала. Мы знаем, что уравнение (13.5) не совсем верно, так что мы можем ожидать, что уравнение (13.6) также нуждается в поправке. Эта проблема также оставляется для будущего исследования.

Таким образом, уравнение, определяющее FBM, использует этот эффект бесконечной памяти:

Вн(1) = [1/Г(Н + 0,50)]*[ f(t-t - *-t4 - )dB(t)

Н-ОД)

t-tr- -dB(t)] (13.8)

Как и прежде, когда Н = 0,50, уравнение (13.8) сводится к обычному броуновскому движению. Если мы более внимательно исследуем (13.8), мы увидим, что в отношении FBM появляется целый ряд интересных свойств. Первое свойство заключается в том, что FBM - нестационарный процесс, который часто наблюдался в отношении рынков капитала. Однако изменения в FBM не только стационарны, но и самоподобны. Уравнение (13.8) может бьпъ упрощено, для целей моделирования, в форму, которую легче понять:

ВнО) -ВнО- 1)= [п- /Г(Н + 0,50)]*[Х i * * r(, wi)

/ =1

п*(М-\)

lan+i) - - -/ - (13.9)

где г = ряд гауссовых случайных переменных М

Уравнение (13.9) представляет собой дискретную форму уравнения (13.8). По существу, оно говорит о том же, заменяя интегралы суммированиями. Это уравнение - скользящее среднее в конечном диапазоне случайных гауссовых значений М, взвешенных степенным законом, зависящим от Н. Числовые значения на рисунке 6.6 бьши сгенерированы с использованием этого алгоритма. (Программа на языке BASIC для использования этого алгоритма бьша приведена в моей более ранней книге).

Временной ряд (или след времени ) ряда черного шума в его канонической форме становится более гладким по мере увеличения Н или Ь. В моделировании гладкость - результат процесса усреднения. Теоретически, это вызвано увеличенными корреляциями среди наблюдений. Эффект долговременной памяти вызьшает появление трендов и циклов. Мандельброт (Mandelbrot, 1972) назвал это эффектом Иосифа. Источник термина - библейская история о семи годах изобилия, за которыми