величины. Модели ARFIMA могут генерировать персистентное и антиперсистентное поведение наподобие дробного шума. Фактически, процесс ARFIMA (0,d,0) является дробным броуновским движением Мандельброта и Уоллиса (Mandelbrot and Wallis, 1969a-1969d). Поскольку более общий процесс ARFIMA (p,d,q) может включать процессы кратковременной памяти AR или МА поверх процесса долговременной памяти, он обладает потенциальными возможностями для описания рынков. В свете гипотезы фрактального рынка он имеет особую привлекательность, потому что сами высокочастотные члены могут быть авторегрессионными (как мы нашли в Главе 9) при наложении поверх процесса Херста с долговременной памятью. Таким образом, модели ARFIMA предлагают нам адаптацию более традиционного метода моделирования, который может быть полностью интефирован с гипотезой фрактального рынка. Большая часть последующего исследования является пересказом работы Хоскинга (Hosking, 1981). Читатели, заинтересованные в более подробной информации, могут обратиться к этой работе.

Дробное дифференцирование звучит странно. По существу, это попытка преобразовать непрерьшный процесс, дробное броуновское движение, в дискретный процесс посредством разбивания процесса дифференцирования на более мелкие компоненты. Целочисленное дифференцирование, которое является лишь фубым приближением, часто ведет к неправильным вьшодам, когда такая упрощенная модель налагается на реальный процесс.

Кроме того, существует прямая связь между показателем Херста и дробным оператором дифференцирования d:

d = H-0,50 (13.10)

Таким образом, О < d < 0,50 соответствует персистентному процессу черного шума, а - 0,50 < d < О эквивалентно антиперсистентной системе розового шума. Белый шум соответствует d = О, а коричневый шум соответствует d = 1 или процессу ARIMA(0,1,0), также встречающемуся в литературе. Коричневый шум - след случайного блуждания, а не приращений случайного блуждания, которые являются белым шумом.

Авторсфессионные процессы принято выражать в терминах оператора сдвига назад В. Для белого шума дискретного времени В(Х() = х ц, так что

Ах, = (1-В) *х, = а,

где а, - IID случайные переменные. Фрактально дифференцированный белый шум с параметром d определяется следующим биномиальным рядом:

А =({-ВУ = Y,(i)i-By

= 1-*5-**(1-)*5 -i*(l-)*(2-f)*5-...(13.11) Характеристики ARFIMA (0,d,0)

Хоскинг выработал характеристики ARFIMA-эквивалента дробных шумовых

процессов, ARFIMA (0,d,0) - процесса ARFIMA без эффектов кратковременной памяти из р и q. Я приведу здесь его важные характеристики.

Пусть {х,} будет процессом ARFIMA (0,d,0), где к - временной лаг, а а, -процесс белого шума со средним нулем и дисперсией . Вот эти характеристики:

1. Когда d < 0,50, {х,} является стационарным процессом и имеет бесконечное представление скользящего среднего:

х,=И5)А, =21<,*fl,., (13.12) где:

\j/.=-------L- (13.13)

к\ k\{d-\)\

По мере того как -> < , ~

{d-\)\

2. Когда d > - 0,50, {xt} обратимо и имеет бесконечное авторегрессионное представление:

где:

-d*(l-d)...{d-l-d) (k-d-l)\ k\ k\*id-l)\

По мере того как А: -><=<>, ~

3. Спеетральная плотность {xt}:

5(й/) = (2* sin-)-* (13.16)

дляО<со<я.

4. Ковариационная функция {xt}:

у=Е(.,. ) = 1Ш (13.,7)

5. Корреляционная функция {х }:

р S-e- (13.18)

по мере приближения к к бесконечности.

А, д~7*<: (13.19)

6. 06paTfibie корреляции {х,}:

Ы-1)\

7. Частные корреляции {х}:

(Ра =-Лк12,...) (13.20)

Комментарий к характеристикам

Наиболее важные характеристики гипотезы фракгального рынка имеют дело с убыванием авторегрессионного процесса. Для - 0,5 < d < 0,5 и фк и 7tk убываю! гиперболически (то есть согласно степенному закону), а не экспоненциально, как они вели бы себя в стандартном процессе AR. Для d > О, корреляционной функции, уравнение (13.18) также характеризуется убыванием согласно степенному закону. Уравнение (13.18) также подразумевает, что {xt} асимптотически самоподобно, или имеет статистическую фрактальную структуру. Для d > О частные и обратные корреляции таюке убывают гиперболически, в отличие от стандартного процесса ARIMA (p,0,q) . Наконец, для длинных (или низких) частот спектр подразумевает процесс долговременной памяти. Все поведение гиперболического убывания в корреляциях также совмесгимо с персистентным процессом долговременной памяти ддя d > 0.

Для -0,5 < d < О процесс ARFIMA (0,d,0) антиперсистентен, как описано в Главе 4. Все корреляции и частичные корреляции отрицательны, кроме ро = 1. Они также убывают согласно степенному закону к нулю. Все это согласуется с ранее рассмотренным антиперсистентным процессом.

ARFIMA (p,d,q)

в процессе обсуждения рассматривался процесс ARFIMA (0,d,0), который, как мы упоминали, эквивалентен процессам дробного шума. Этот подход также можно обобпшть до процесса ARFIMA (p,d,q), который включает процессы кратковременной памяти AR и МА. Результатом являются эффекты короткой частоты, ншюженные поверх процесса низкой частоты или долговременгюй памяти.

Хоскинг рассматривал воздействие этих дополнительных процессов на примере. В частности он говорил: На практике процессы ARIMA (p,d,q), вероятно, будут представлять собой наибольший интерес ддя небольших значений р и q... Исследование самых простых примеров, процессов AFRIMA (l,d,0) и ARFIMA (0,d,l), является хорошей иллюстрацией смешанных систем. Эти процессы - эквивалент процессов кратковременной памяти AR(1) и МА(0,1), наложенных на процесс долговременной памяти.

Процесс ARFIMA (l,d,0) определяегся следующим образом: (1-ф*В)Лу,=а, (13.21)