Тел.факс: +7(831)437-66-01
Факторинг  Анализ финансовых западных рынков 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 [ 59 ] 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92

5. Оцените d в модели ARFIMA (0,d,0) Д х,=а,.

6. Проверьте на конвергенцию параметры d, ф и 9; если они не конвергентны, перейдите к шагу 2.

Хоскинг особо указал на исгюльзование R/S-анализа ддя оценки d в шагах 1 и 5, используя уравнение (13.10).

Модель ARFIMA имеет много желательных характеристик для целей моделирования. Она также попадает в рамки более традиционной статистической структуры, которая может сделать ее приемлемой для широкого круга исследователей. Я полагаю, что большое количество будущих исследований будет посвящено этой сфере.

ВЫВОДЫ

в этой главе мы исследовали некоторые сложные, но ваисные взаимосвязи. Мы нашли, что шум может быть категоризирован по цвету и что цвет шума может быть непосредственно связан с показателем Херста Н и процессом Херста. Антиперсистентные временные ряды, такие как рьшочная волатильность, являются розовым шумом и родственны турбулентности. Персистентные ряды являются черным шумом, характеризующимся бесконечной памятью и прерьшистыми резкими изменениями. Мы также рассмотрели семейство моделей ARFIMA как потенциальный инструмент моделирования. Мы исследовали характеристики этих шумов, но мы еще не рассмотрели их статистику. Поскольку статистика - первичный инструмент финансовой экономики, бьшо бы полезно изучить фрактальную статистику. Мы переходим к ней в следующей главе.



Фрактальная статистика

Мы неоднократно говорили о том, что нормаль11ое распределение не подходит ;У1Я описания рыночных прибылей. До настояндего времени мы конкретно не юнорнли, чго должно его заменить. Мы сде;1аем предноложсние, которое не монрав1ГГся MfforiiM читателям. Во-первых, мы должны повторно нсслелова1ь [[ричииы широкого признания гауссовой гипотезы (рынки - случайпь1е блуж/щния, которые хорошо описываются с помощью нормально! о распределения).

Нормальное распределение имеет ряд желательных характеристик. Его свойства и меры дисперсии всесторонне изучены. Было сформулировано больнюе количество практических ирн.менений согласно предположению о том, что процессы Я111якмся случа1 и1ымп, и, таким образом, онисываю1ся в пределе иормалы1Ым )аспрслслснием. Mnoi пс выборочные группы, дейсгвгпельио, случаГшы. В течение icKoiopoit) времени казшюсь, чю 1гормальнос распределение можс! описать любую сшлацто, где доминировала сложность.

У )Ci (West, 1990) цитировсът ора Фрэнсиса (Ъгглона, аиглшгского математика ii жсцстрнчпою человека 19-с)го сюлетя:

Я слт ли знаю что-либо столь же способное впечатлить во(ч )раже1тс. как ;а\1сча1ел1.11ая ()opiMa космического порядка. вьграженногО законом частоты мтиоки , )1ог закон был бы персонифицирован грека.мп и обожествлен, если бы они пали о нем. Он правит спокоГню и в полном са.мспмлчпженин срслп личагннего йеспорялка. Чем бол1>и1с толпа и очевидная анархия, icm более совергленно ею м!Х!вл(Л1пс, )и) Biiicninii закон 11сраз\мносги. Всякий раз, когда берегся больгиая iu,iu(ipKa хаотчсекпх wicmciuob и paciiojiaiае1ся п порядке их величин!,!, 0!<а5!л!ше!ея. но 11е1фелвнле!11!ая i! самая !<раси!ая ()орма ре[уи!яр!!оетн 6i5iJia скргт!;! все l >e!я .

1 анлоп, очсв1!лно. бы.т поелеловамелем 11ла!01!.а i! iici!!nno 15ер!!.ч п созла11!1я 11(11>зы. Дчя 1 ал1.101!а н ;1тя 6o.Tb!iiimci!?а ма!е.мат1!Ков !!ормач1>!!Ос рас!!релетеине -претельпос 11ало /Ке111!е норялка !ia беспорядок. 1:1Ч1лор, изучил миоше ip\mii,i. oi 11 1с;и1,[х (пролол>к1!тсл!>1гост!> жиз1ги) до смешных (часгота зевков), п иоказач, чго о\\\\ ЯВЛЯ101СЯ nop\uL4i,iio распрелелеиными. К еожатеипк\ сушсепАст мною процессов, Koiopiiic пе мормшгьны. Прагзлемис вьгстего закона Неразумности чаею ()ie\ ichvnct, лаже для тех спегем, которые кажутся чрезвычайно cJK)Жпыm.

!1ричпп1>1 его нсллачи кроются в его ирелиито/кениях. Гаусс показал, чго ирелельпое ]асирелелеиис набора независимых, идентично pacHpcviejiennbix МП)) ci\4ainn>ix иеременньгх было нормальным распределением. >io нзвеегиы!) Закон noihuiiix Ч11СС.1. или. более ()ормш1Ы10, Цсит/успыит п/кде.чьная теорема. Именно олаюларя ()орм}лировкс Га\сеа мы часто назыгше.м такие процессы 1а)есовыми.



Однако имеют место ситуации, в которых закон больших чисел не действует. В частности существуют случаи, когда усиление происходит при экстремальных значениях. Это явление будет часто приводить к распределению с толстыми хвостами.

Например, Парето (Pareto, 1897), экономист, нашел, что распределение доходов индивидуумов было логарифмически нормально распределено приблизительно для 97 процентов населения. Однако для оставшихся 3 процентов бьшо обнаружено, что оно резко увеличивается. Маловероятно, что кто-то будет жить в пять раз дольше среднего, но тот факт, что кто-то в пять раз состоятельнее среднего, не является необычным. Почему между этими двумя распределениями существует различие? В случае продолжительности жизни каждый индивидуум является действительно независимой выборкой, члены семьи не учитываются. Это не сильно отличается от классической проблемы вероятности - вынимания красных или черных шаров из урны. Однако чем богаче индивидуум, тем больше он может рисковать. Богатые могут увеличивать свое богатство такими способами, которые средний индивидуум со средним доходом использовать не может. Следовательно, чем богаче индивидуум, тем больше возможностей он имеет, чтобы стать еще богаче.

Эта способность увеличения не офаничена богатством. Лотка (Lx)tka, 1926) нашел, что старшие научные сотрудники были способны улучшить свое положение через аспирантов и увеличивали признание своего имени, чтобы публиковать больше работ. Таким образом, чем больше бьшо опубликовано работ, тем больше работ могло быть опубликовано, как только бьш достигнут крайний хвост распределения.

Такие распределения с длинными хвостами, особенно в данных, полученных Парето, привели к тому, что Леви (Levy, 1937), французский математик, сформулировал обобщенную функцию плотности, частными случаями которой бьши нормальные распределения, так же как и распределения Коши. Леви использовал обобщенную версию Центральной предельной теоремы. Эти распределения соответствуют большому классу естественных явлений, но они не привлекали большого внимания вследствие их необычных и на вид трудно разрешимых проблем. Их необычные свойства продолжают делать их непопулярными; однако их другие свойства так близки нашим результатам, полученным на рынках капитала, что мы должны их исследовать. Кроме того, бьшо обнаружено, что устойчивые распределения Леви полезны в описании статистических свойств турбулентного потока и l/f-шума - и к тому же они фрактальны.

ФРАКТАЛЬНЫЕ (УСТОЙ) ИВЫЕ) РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Распределения Леви - устойчивые распределения. Леви говорил, что функция рас [ipc деле ния F(x) устойчива, если для всех bi,b2> О таюке существует Ь > О, так что:

F(x/b,)*F(x/b2) = F(x/b) (14.1)

Эта связь существует для всех функций распределения. F(x) ~ общая характеристика класса устойчивых распределений, а не свойство любого конкретного распределения.

Характеристические функции F могут быть выражены схожим образом:



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 [ 59 ] 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92