Тел.факс: +7(831)437-66-01
Факторинг  Анализ финансовых западных рынков 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 [ 62 ] 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92

Толстые хвосты и закон Парето

Когда а < 2 и Р = О, оба хвоста следуют закону Парето. Как мы говорили ранее, Парето (Pareto, 1897) нашел, что логарифмическое нормальное распределение не описывало частоту уровней дохода у верхних 3 процентов населения. Вместо этого хвосты становились все более и более длинными, так что:

P(U>u) = (uyU) (14.6)

Мы опять имеем масштабный коэффициент согласно степенному закону. В этом случае степенной закон вызван характеристическим показателем а, и вероятность нахождения значения U, которое больше оценки и, зависит от альфы. Возвращаясь к исследованию Парето, вероятность нахождения того, чей доход в пять раз больше среднего, непосредственно связана со значением а.

Поведение распределения для различных значений р, когда а < 2, является важным для опционного ценообразования, которое будет рассмотрено в Главе 15. Вкратце, когда Р принимает экстремальные значения +1 или -1, левый (или правый) хвост обращается в нуль для соответствующих значений беты, а остающийся хвост сохраняет свои характеристики Парето.

УСТОЙ) ИВОСТЬ ПРИ СЛОЖЕНИИ

Дпя теории портфеля нормальное распределение имело очень желательную характеристику. Сумма ряда IID переменных была все еще IID и управлялась нормальным распределением. Устойчивые распределения с одинаковым значением альфы имеют одинаковую характерную особенность. Приводимое ниже объяснение адаптировано из работы Фэна, Неоджи и Яшимы (Fan, Neogl, and Yashima, 1991).

Применяя уравнение (14.2) к уравнению (14.3), мы имеем:

Е(б*) * Е{е* -*-) = Е{е** *) (14.7)

где Х, Х2 и X - приведенные устойчивые независимые случайные переменные, как описано выше.

Тогда:

(,*,*(Vv,./.*.b))(:Wv (14.8)

ИЛИ, если ~ d ~ означает то же самое распределение ,

b,*x, + b2*X2~d~-b*x (14.9)

Применяя это отношение к характеристическим функциям с использованием уравнения (14.3), мы находим следующую взаимосвязь:

Q\{-{b + Ь )* t Г*(1 + i*p*(t/l t )*tan(a*7i/2))

= exp[-b * 11 *[1 + i*p*(t/ t )*tan(a*7i/2)] (14.10)

Теперь мы можем видеть что:



/7, +Ь =Ь (14.11)

Уравнение (14.11) сводится к более известному гауссову, или нормальному, случаю, когда альфа равняется 2.

На основании уравнения (14.11) мы можем видеть, что, если два распределения устойчивы, обладая характеристическим показателем а, их сумма также устойчива с характеристическим показателем а. Это применяется в теории портфеля. Если ценные бумаги в портфеле устойчивы, имея одинаковое значение альфы, сам портфель также устойчив, имея то же самое значение альфы. Фамэ (Fama, 1965b) и Самуэльсон (Samuelson, 1967) использовали эту взаимосвязь, чтобы адаптировать теорию портфеля Марковица (Markowitz, 1952) для бесконечных распределений дисперсии. Прежде чем мы исследуем практичность этих адаптации, мы сначала должны рассмотреть характерные свойства устойчивых, фрактальных распределений.

ХАРАКТЕРНЫЕ СВОЙСТВА ФРАКТАЛЬНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

Устойчивые распределения Леви имеют ряд желательных характерных свойств, благодаря которым они особо согласуются с наблюдаемым поведением рынка. Однако те же самые характеристики, как мы увидим, ставят под сомнение полезность устойчивых распределений.

Самоподобие

Почему теперь мы называем эти распределения не только устойчивыми, как называл их Леви, но еще и фрактальными? Масштабный параметр с является ответом. Если характеристический показатель а и параметр асимметрии р остаются теми же самыми, изменение с просто приводит к изменению масштаба распределения. После внесения поправки на масштаб вероятности остаются одинаковыми во всех масштабах с равными значениями аир. Таким образом, а и р не зависят от масштаба, хотя с и 8 от него зависят. Это свойство делает устойчивые распределения самоподобными при изменениях в масштабе. Как только мы вносим поправку на масштабный параметр с, вероятности остаются теми же самыми. Ряды - и, следовательно, распределения - безгранично делимы. Эта самоподобная статистическая структура является причиной, по которой мы теперь говорим об устойчивых распределениях Леви как о фрактальных распределениях. Характеристический показатель а, который может принимать дробные значения между 1 и 2, является фрактальной размерностью пространства вероятностей. Подобно всем фрактальным размерностям, она представляет собой масштабное свойство процесса.

Аддитивность

Мы уже видели, что фрактальные распределения являются инвариантными при сложении. Это означает, что устойчивые распределения аддитивны. Две акции с одинаковым значением аир могут быть сложены, и получающееся в результате



распределение вероятности будет иметь все те же значения аир, хотя с и 8 могут измениться. Нормальное распределение также обладает этой характеристикой, так что этот аспект МРТ остается незатронутым, пока все акции имеют одинаковые значения аир. Моя предьщущая книга показывает, что, к сожалению, различные акции могут иметь различные показатели Херста и различные значения а. В настоящее время не существует теории об объединении распределений с различными альфами. ЕМН, предполагая нормальность для всех распределений, принимала а = 2,0 для всех акций, что, как мы теперь знаем, неправильно.

Разрывы: скачки цен

Толстые хвосты во фрактальных распределениях вызваны усилением, и это усиление во временном ряду приюдит к скачкам в процессе. Они подобны скачкам в последовательной дисперсии для Коши и Доу-Джонса. Таким образом, большое изменение во фрактальном процессе происходит из небольшого количества больших изменений, а не из большого количества небольших изменений, как подразумевается в гауссовом случае. Эти изменения имеют тенденцию быть резкими и прерывистыми - еще одно проявление эффекта Ноя, Мандельброт (Mandelbrot, 1972, 1982) называл это синдромом бесконечной дисперсии.

Эти большие прерывистые события являются причиной того, что мы имеем бесконечную дисперсию. Нетрудно понять, почему они происходят на рьшках. Когда на рынке начинается паника, страх порождает еще больший страх, будь то страх потери капитала или потери возможности. Это усиливает медвежье/бычье настроение и приводит к разрывам в цене исполнения, так же как в ценах предложения/запрашиваемых ценах. Согласно фрактальной гипотезе рьшка, эти периоды неустойчивости происходят, когда рынок теряет свою фрактальную структуру: когда долгосрочные инвесторы больше не участвуют на рынке, и риск сконцентрирован в одном, обычно коротком, инвестиционном горизонте. Через измеренное время эти большие изменения затрагивают все инвестиционные горизонты. Несмотря на тот факт, что долгосрочные инвесторы не участвуют в течение неустойчивого периода (потому что они или покинули рьшок, или стали краткосрочными инвесторами), на доходность в этом горизонте все еще оказывается воздействие. Синдром бесконечной дисперсии затрагивает все инвестиционные горизонты в измеренное время,

ИЗМЕРЕНИЕ а

Фамэ (Fama, 1965а) описывает несколько различных способов измерения а, В настоящее время кажется, что R/S-анализ и спектральный анализ предлагают самый надежный метод вычисления а, но эти альтернативные методы могут использоваться в качестве подтверждения.

Первоначальный метод, рекомендованный Мандельбротом (Mandelbrot, 1964) и Фамэ (Fama, 1965b), происходил из взаимосвязи между хвостами и законом Парето, описанной в уравнении (14,6). Путем деления обеих частей уравнения (14,6) на правый член и последующего логарифмирования мы получаем:



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 [ 62 ] 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92