Тел.факс: +7(831)437-66-01
Факторинг  Анализ финансовых западных рынков 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 [ 64 ] 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92

а = - (14.10)

Фрактальная размерность пространства вероятностей таким образом связана с фрактальной размерностью временного ряда. Как это часто бывает, две фрактальных размерности будут иметь подобные значения, хотя они измеряют различные аспекты процесса. Н измеряет фрактальную размерность проекции прямой времени фрактальной размерностью 2 - Н, но оно также связано со статистическим самоподобием процесса через форму уравнения (14.10). Однако 1/Н измеряет фрактальную размерность пространства вероятностей.

Фамэ (Fama, 1965а) упоминал большинстю недостатков R/S-анализа, которые мы уже обсудили, особенно тот факт, что при ювлечении процесса короткой памяти диапазон может быть смещен. Мы уже имели дело со смещениями. Вообще, Фамэ нашел, что анализ диапазона давал устойчивые значения альфы, которые соответстювали результатам фафического метода с логарифмическим масштабом по обеим осям. R/S-анализ дает еще более устойчивые значения, поскольку он делает диапазон безразмерным, выражая его в терминах местного стандартного отклонения.

Спектральный анализ

Мы уже видели в Главе 13 связь между показателем Херста Н и спектральным показателем ps. (Теперь мы будем именовать спектральный показатель как ps, чтобы отличить его от показателя асимметрии р). Уравнение (14.10) позюляет нам выразить отношение с ps:

а = (14.11)

В Главе 13 мы нашли ps = 2,45 для ежедневных данных по индексу Доу-Джонса. Это подразумевает, что а = 1,73, что также близко к значению 1,7, вычисленному Фамэ (Fama, 1965а).

ИЗМЕРЕНИЕ ВЕГОЯТНОСТЕЙ

Как мы гоюрили ранее, главная проблема семейства устойчивых распределений состоит в том, что они не подходят для решений в замкнутой форме, кроме частных случаев нормальных распределений и распределений Коши. Поэтому функции плотности вероятности не могут быть явно определены. Вероятности могут быть решены только численно, что немного утомительно. К счастью, некоторые исследователи уже выполнили решения для некоторых общепринятых значений.

Холт и Кроу (Holt and Crow, 1973) нашли функцию плотности вероятностей для а = 0,25 - 2,00 и р равного от -1,00 до +1,00, оба в приращениях 0,25. Используемая ими методология интерполировала между известными распределениями, типа распределений Коши и нормальных распределений, и интегрального представления из работы Золотарева (Zolotarev, 1964/1966). Таблицы, подготовленные для бывшего



Национального бюро стандартов, остаются самым полным представлением функций плотности вероятностей устойчивых распределений.

Некоторые читатели могуг найти функцию плотности вероятностей полезной; большинство же читателей больше заинтересованы в кумулятивных распределениях вероятностей, которые можно непосредственно сравнить с частотными распределениями, как это делалось в Главе 2. Фамэ и Ролл (Fama and Roll, 1968,1971) создали таблицы распределения кумулятивных вероятностей для широкого диапазона альф. Однако они сосредоточили свое внимание на симметричных устойчивых распределениях, ограничивая, таким образом, р до 0. Много раз бьшо показано, что рынки ассиметричны, но влияние этой асимметрии на рыночный риск не очевидно. Мы можем предположить, что эти симметричные значения будут достаточными для большинства применений.

В Приложении 3 воспроизведены распределения кумулятивных вероятностей из исследований Фамэ и Ролла. Приложение также кратко описывает методологию оценки.

БЕЗГРАНИЧНАЯ ДЕЛИМОСТЬ И IGARCH

В данной книге много раз упоминалось семейство распределений ARCH. Причина очевидна: ARCH - единственная вероятная альтернатива семейству фрактальных распределений. Помимо иных многочисленных причин ее популярности кажется, что ARCH согласуется с эмпирическими результатами. Процессы ARCH характеризуются распределениями вероятностей, которые имеют высокие пики и толстые хвосты, как мы видели опытным путем для многочисленных рынков. Логически, это заставляет предположить, что условная дисперсия важна. Будучи инвесторами, мы знаем о недавней рыночной волатильности, так что именно будущая волатильность будет реакцией на наш недавний опыт.

Однако есть, и недостатки. Процессы ARCH не являются процессами долговременной памяти, будучи измеренными R/S-анализом. Тем не менее, возможно, что два процесса могут сосуществовать - фактически, очень вероятно, что они измеряют различные аспекты одного и того же.

ARCH - локальный процесс. Он гоюрит о том, что будущая волатильность измеряется нашим опытом прошлой юлатильности. Однако он работает только для определенных инвестиционных горизонтов. Нельзя, например, взять юлатильность недельных прибьшей и предсказать будущую дневную юлатильность. Этот процесс зависит от инвестиционного горизонта, и анализ работает только в пределах такого местного интервала времени.

Фрактальные процессы, с другой стороны, являются глобальными структурами; они имеют дело со юеми инвестиционными горизонтами одновременно. Они измеряют безусловную дисперсию (а не условную, как делает ARCH). В Главе 1 мы исследовали процессы, которые имеют локальную случайность и глобальную структуру. Возможно, что GARCH, с его конечной условной дисперсией, является местным эффектом фрактальных распределений, которые имеют бесконечную.



безусловную дисперсию. В примере с сосной в Главе 1 общая структура дерева была очевидна, только когда мы смотрели на всю структуру, исследуя все ее ветви одновременно. При исследовании каждой отдельной ветви мы вступали в сферу локальной случайности. В отношениях между ARCH и его вариантами и фрактальным семейством распределений может быть сходстю.

Как оказывается, некоторые члены семейства ARCH действительно соответствуют этому критерию. В частности, модели интефированной дисперсии, или IGARCH, Ингла и Боллерслева (Engle and Bollerslev, 1986) характеризуются бесконечной безусловной дисперсией. Линейная модель GARCH (p,q) уравнения (5.12) содержит приблизительный единичный корень в авторегрессионном многочлене, так 4Tofi + ... +fq +gi + ... +gp = 1. Боллерслев, Чоу и Кронер (Bollerslev, Chou and Kroner, 1990) утверждали: Как в маргингальной модели для условных средних, текущая информация остается важной для прогнозов условной дисперсии для всех горизонтов. В качестве примера покажем, что в простой модели IGARCH (1,1), где f + gl = 1, прогноз с минимальной среднеквадратической ошибкой для

условной дисперсии s приюдит к (o*(s - 1) +а,+, (курсив автора). В результате этого

процесса бесконечной памяти безусловная память для модели IGARCH (p,q) не существует. Кроме того, существует сильная взаимосвязь с классом моделей ARIMA, обсуждаемых в Главе 5, которые уже имеют дробную форму.

Эта взаимосвязь здесь постулируется без доказательств, но она является интригующей и соответствует фрактальной гипотезе рьшка. Кроме того, она соответствует фрактальной структуре других систем; обладающих локальной случайностью, характеризующейся ARCH; и обладающих глобальной структурой безусловной бесконечной дисперсии, согласующейся с фрактальными распределениями. Мы оставим формальное доказательство для будущего исследования.

ВЫВОДЫ

В этой главе мы исследовали фрактальную статистику. Ее статистический эквивалент, подобно другим фракталам, не подходит для чистых решений в замкнутой форме. Однако фрактальные распределения имеют ряд желательных характеристик:

1. Стабильность при сложении: сумма двух или более распределений, которые являются фрактальными с характеристическим показателем а, сохраняет ту же форму и характеристический показатель а

2. Самоподобие: фрактальные распределения безгранично делимы. При изменении масштаба времени а остается той же самой.

3. Они характеризуются высокими пиками в среднем и толстыми хвостами, что соответствуют эмпирическим характеристикам рыночных распределений.

Наряду с этими желательными характеристиками, у распределений есть сюйственные проблемы:



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 [ 64 ] 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92