также является устойчивым, с тем же самым характеристическим показателем, как обсуждалось в Главе 14.

Теперь мы должны исследовать форвардную цену F, которая делает инвестора безразличным к инвестированию в производную ценную бумагу А2 или в ценную бумагу, лежащую в основе, A:

F= (15.9)

£(t/,)

Маккаллок указал, что если log(Ui) и log(U2) устойчивы с альфой менее 2,0, то оба логарифма должны также иметь параметр асимметрии р, равный - 1; то есть они должны быть макаштьно отрицательно ассгшетричными. Это касается функций полезности, но сам X не должен быть столь офаничен. Бета может равняться чему угодно в пределах между -1 и +1.

Теперь мы возьмем два коэффициента, Ui и U2, которые являются независимыми и определенными активами. Ui имеет отрицательное воздействие на log (Ul); U2 имеет отрицательное воздействие на log(U2). Существует еще третий коэффициент, Уз, который имеет отрицательное воздействие на оба логарифма - log (Ul) и log(U2). ui устойчив и имеет параметры (а, + l,Ci,8i). U2 также устойчив и имеет параметры (а, +1, С2,б2). из независим от Ui и U2. Однако он также устойчив и имеет параметры (а, +1, Сз,5з). Все три коэффициента максимально и положительно ассиметричны, как показано их параметрами асимметрии, равными +1. Эти три коэффициента влияют на log(Ui) и log(U2) следующим образом:

log(Ui)=-Ui-U3 (15.10)

l0g(U2)=-U2-U3 (15.11)

log(X) = u,-U2 (15.12)

Log(X) определяется параметрами (а,р,с,5). В этой формулировке предполагается, что а,р,с и F известны - большое предположение. Другие параметры неизвестны. Тем не менее, используя свойство аддитивности в уравнении (14.11), мы можем вывести следующие отношения:

5 = 51-52,а1 (15.13)

c = cf+c5 (15.14)

pV=c; -с (15.15)

Складывая уравнение (15.14) и уравнение (15.15) и вычисляя С, мы имеем:

Ci =

*с (15.16)

Аналогично, вычитая уравнение (15.15) из уравнения (15.14) и вычисляя Сл, мы

имеем:

с-.=

(15.17)

Теперь мы можем использовать уравнение (15.7), которое упростило характеристическую функцию для устойчивых переменных, которые максимально и отрицательно ассиметричны, таких как U и U2:

E(log(U2)) = e--- >* * > (15.18)

E(log(U,)) = e--- >*-* (15.19)

Используя эти отношения в уравнении (15.9), теперь мы можем выразить значение форвардной цены F в терминах устойчивых параметров X:

F = е -<* 1-<*2-(С+? )*se -4* /2) (15 20)

Заключительное преобразование происходит из отношений в уравнениях (15.13)-(15.15).

Форвардная цена F выражается в терминах характеристического распределения X. Это уравнение форвардного курса теперь используется как форвардная цена ценной бумаги в опционном ценообразовании.

Опционное ценообразование

В соответствии с традицией, мы назовем цену европейского опциона колл С во времени 0. Опцион может быть безоговорочно исполнен во время Т, для одной единицы (или доли) актива, который мы назовем А2. A - валюта, которую мы используем, чтобы оплатить опцион. Безрисковой процентной ставкой на А является Гь срок которой также наступает во время Т. Следовательно, единицы А

эквивалентны единицам С*е* во времени Т. Цена исполнения опциона - Хо. Если Х>Хо во времени Т, владелец заплатит Хо единиц А, чтобы получить одну акцию А:,

минус С*ег*, что бьшо заплачено за опцион. Это включает цену опциона С и временную стоимость тех денег при наступлении срока.

Маккаллок ввел формулу, которая приравнивает ожидаемое преимущество покупки или продажи опциона к 0. Это - уравнение безразличия:

Маккаллок затем использовал уравнение (15.9) и вычислил С:

(15.21)

Х>Хп

U,dP{U U,)--f-* \u,dP{U U,)

(15.22)

P(Ui,U2) представляет совместное распределение вероятностей U и U2.

Заключительным шагом является описание С в терминах семейства устойчивых распределений. Маккаллок сделал это, определяя две функции, s(z) и S(z),

как являющиеся стандартно максимально и полоэ/сительно ассиметричными; то есть 3 равно +1, так что функции плопгности и распределения определяются как (а, 1,1,0). Затем Маккаллок показал, что уравнение (15.22) может быть преобразовано в уравнение (15.23). Доказательство выходит за рамки возможностей данной книги. Заключительная форма С является следующей:

Q-p -r, T+tf sec(/r*a/2) * / * -r,*r+cf *sec(;r*a/2) 23)

где:

*z-log

+ y5*c *sec(-* r/2)

(15.24)

C *Z-log

dz (15.25)

Уравнения (15.16) и (15.17) показывают, как определить C и С2. Остаток формулы показывает, что цена опциона - функция трех значений и трех устойчивых параметров; то есть цена зависит от (1) форвардной цены (F), (2) цены исполнения (Хо) и (3) текущей безрисковой ставки (Г). Кроме того, она зависит от а, b и значений распределения X. 8 содержится в F, и общий компонент неопределенности из выпадает.

Формула Блэка-Шоулса бьша сложной, но ее можно было понять в терминах простого ар)битражного аргумента. Формула Маккаллока имеет схожий арбитражный аргумент, но сама формула кажется еще более сложной, чем ее предшественник. Она также кажется менее точной. Формула Блэка-Шоулса определяла цену досрочного выкупа, на основании соотношения между курсом акций и ценой исполнения; формула Маккаллока определяет ее на основании соотношения между форвардной ценой и ценой исполнения. Маккаллок знал об этой проблеме и заявил: Если форвардный курс F по какой-либо причине не наблюдается, мы можем использовать цену спот S для его замены, если мы знаем безрисковую процентную ставку без Г2 на А2 деноминированных займов, так как арбитраж требует:

(15.26)

Нормальное распределение больше не используется. Вместо него используются устойчивые распределения s и S. Дисперсия, аналогичным образом, заменяется на с.

Формула для цены опциона пут подобна производной Блэка-Шоулса: