Тел.факс: +7(831)437-66-01
Факторинг  Анализ финансовых западных рынков 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 [ 69 ] 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92

P = C + (Xo-F)*e *

Это опять является европейским опционом пут, который дает держателю право, но не обязательство, продать 1 единицу Ai по цене исполнения Хо-

Коэффициент псевдохеджирования

Маккаллок определил коэффициент хеджирования, но задал ему важные офаничительные условия. Прежде всего, фрактальные системы, как мы обсуждали, подвержены разрывам в проекции прямой времени. Это делает арбитражную логику Блэка и Шоулса (Black and Scholes, 1973) бесполезной в самых тяжелых ситуациях (большие события, которые вызывают толстые хвосты), когда хед>кер в ней больше всего нуждается. Эта несостоятельность подхода Блэка-Шоулса привела к тому, что стратегия, названная портфельное страхование , обеспечила только частичную защиту во время краха 1987 г,

Маккаллок действительно предложил коэффициент псевдохеджирования. По существу, риск продажи опциона колл (writing а call option) может быть частично застрахован, если занять долгосрочную позицию на базовом активе. Необходимые единицы выведены в следующем уравнении:

с i 1

(15.28)

Тем не менее, поскольку не существует средства от разрывов в проекции прямой времени рыночных прибьшей, совершенный хедж во фракгальной среде невозможен. Это всегда будет несовершенный хедж.

Численные значения опциона

Маккаллок вычислил несколько значений опциона в качестве примеров. Он использовал следующий аргумент для вычисления значений опциона из стандартных таблиц, таких как таблицы в Приложении 3.

Предположим, что нас интересует опцион колл на 1 единицу Аг по цене исполнения Хо, как мы определяли эту проблему в данной главе. Мы определяем С(Хо,Р,а,р,с,Г,Т) как цену досрочного выкупа. Это может быть записано следующим образом:

C(X ,F,a,p,c,r T) = ei**F*C

(15.29)

где:

,1,с,Дс,0,1

(15.30)

Схожее преобразование может быть выполнено для цены исполнения опциона



пут Р и Р. Кроме того, используя уравнение (15.27), мы можем вычислить Р от С:

(15.31)

Опцион пут на 1 долю Аг по цене Хо эквивалентен опциону пут на Хо акций Ai по цене исполнения 1/Хо. Значение последнего опциона в единицах Аг составляет:

1 1

Хо F

,a-j3,c,r,T

потому что форвардная цена составляет 1/F единиц Аг.

Log(l/x) = - log(x), а также имеет параметры а, -(3, с. Это может быть переформулировано как:

C{X F,a,j3,c,r T) = S

Х,*Р

1 1

X, F

,а-/3,с,г,Т

(15.32)

На основе использования уравнения (15.26) это может быть сформулировано следующим образом:

+ 1-

(15.33)

Следовательно, цены опционов для комбинации различных коэффициентов могут быть рассчитаны на основе таблиц

для -- > 1.

-,сх,/3,с

в таблицах 15.2 и 15.3 мы воспроизводим две таблицы Маккаллока. Значения показаны для 100 опционов, оцененных в С (Xo/F,a,p,c). Таблицы показывают значение в количествах А для 100 акций или единиц Аг. Если опцион на IBM (Аг), подлежащий оплате в долларах (АО, таблица показывает значение стоимости, в долларах, для опциона IBM на 100$ стоимости IBM.

В таблице 15.2 С = 0.1, а Xq/F = 1.0. Поскольку Хо - цена исполнения, а F -форвардная цена, опцион имеет нулевую внутреннюю стоимость, аир могут изменяться. Уменьшение а приводит к повышению цены опциона, поскольку устойчивые распределения имеют более высокий пик в среднем, и, следовательно, более вероятно, что они, а не нормальное распределение, будут иметь нулевую внутреннюю стоимость. Когда а = 2.0, бета не оказывает никакого влияния. Однако для других значений беты цена повышается вместе с асимметрией.

В таблице 15.3, также воспроизведенной из работы Маккаллока (McCulloch, 1985), альфа и бета считаются постоянными и равными 1,5 и 0,0 соответственно; вместо них изменяются Xo/f. Как и следовало ожидать, увеличение (которое эквивалентно увеличению волатильности в формуле Блэка-Шоулса) приводит к



увеличению значений опциона. То же самое верно в отношении опциона, который имеет все более и более положительную внутреннюю стоимость.

Таблица 15.2 Фраюипьные цены опционов: с = 0,1, X(/F = 1,0

Бета(р)

Альфа

-1,0

-0,5

5,637

5,637

5,637

5,637

5,637

6,029

5,993

5,981

5,993

6,029

6,670

6,523

6,469

6,523

6,670

7,648

7,300

7,157

7,300

7,648

9,115

8,455

8,137

8,455

9,115

11,319

10,200

9,558

10,200

11,319

14,685

12,893

11,666

12,893

14,685

Таблица 153 Фраюипьные цены опционов: а = 1,5, р = 0,0

Xo/F

0,01

50,007

0,787

0,079

0,014

0,03

50,038

2,240

0,458

0,074

0,10

50,240

6,784

3,466

0,481

0,30

51,704

17,694

14,064

3,408

1,00

64,131

45,642

43,065

28,262

Заключение

В начале этого раздела я говорил, что фрактальное опционное ценообразование является достаточно сложным и требует всестороннего изучения. Неочевидно, что сложная методология, используемая здесь, необходима, но она, безусловно, стоит повторного рассмотрения. Огромные суммы денег направляются на рынки опционов, и знание формы исходного распределения должно приносить прибыль. Оно должно, по крайней мере, дать передышку тем, кто использует традиционный коэффициент хеджирования и ожидает, что он даст им совершенный хедж . В этой главе мы видели, что он не может существовать.

ВЫВОДЫ

В данной главе бьша рассмотрена более ранняя работа, которая использовала устойчивые распределения в двух традиционных областях количественной финансовой экономики. Первой областью бьш выбор портфеля. Фамэ и Самуэльсон независимо разработали вариант рыночной модели Шарпа, который предусматривал



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 [ 69 ] 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92