CJe) = il/N)*j;Z{e-\X,-X. ), ij (16.2)

где Z(x) = 1, если е - Xi - Xj > 0; иначе О Т = число наблюдений е = расстояние

Cm = корреляционный интеграл для размерности m

Функция Z рассчитывает, сколько точек находится на расстоянии е друг друга. Согласно теории, Сщ должно увеличиваться со скоростью е , где D - корреляционная размерность фазоюго пространства, которая близко связана с фрактальной размерностью. Вычисление корреляции требует от нас знания того, как выглядит фазовое пространство. В реальной жизни мы не только не знаем факторы, задействованные в системе, мы даже не знаем, сколько их! Обычно у нас есть только одна наблюдаемая величина, например, изменения курса акций. К счастью, в теореме Такенса (Takens, 1981) говорится, что мы можем воссоздать фазовое пространство, задерживая один временной ряд, который мы имеем, для каждой размерности, которая, как мы думаем, существует. Если число размерностей вложения больше, чем фрактальная размерность, корреляционная размерность стабилизируется к одному значению. В моей предыдущей книге намечены процедуры вьшолнения этого вычисления на основании экспериментальных данных, взятых из работы Волфа и др. (Wolfetal., 1985).

BDS-статистика базируется на статистических свойствах корреляционного интефала. Большая часть нижеследующего обсуждения взята из работы Хсие (Hsieh, 1989), где можно найти более математическое рассмотрение BDS-статистики.

Корреляционный интефал из уравнения (16.2) вычисляет вероятность того, что две точки, которые являются частью двух различных траекторий в фазовом пространстве, отстоят друг от друга на е единиц. Предположим, что Х; во временном ряде X (с наблюдениями Т) независимы. Мы задерживаем этот ряд в историях N ; то есть мы используем метод задержки времени Такенса для создания фазового пространства размерности N из временного ряда X. Затем мы вычисляем корреляционный интефал CN(e,T), используя уравнение (16.2). Брок и др. показали, что по мере приближения Т к бесконечности:

CN(e,T) С,(е) со 100% вероятностью (16.3)

Это типичная особенность масштабирования вероятностных процессов. Корреляционный интефал просто заполняет пространство любой размерности, в

которое он помещен. Брок и др. показали, что CN(e,T) - Ci(e,T)*Vr является нормально распределенным со средним 0. BDS-статистика, w, которая следует, также является нормально распределенной:

WN(e,T) = CN(e,T) - С,(е,Т)* ff /sN(e,T) (16.4)

гдesN(e,T) = стандартное отклонение корреляционных интсфалов

Таким образом, BDS-статистика w имеет стандартное нормальное распределение вероятности. Когда оно больше 2,0, мы можем с 95-процентной уверенностью отклонить нулевую гипотезу, согласно которой изучаемая система случайна. Когда оно больше 3,0, мы можем отклонить эту теорию с 99-процентной уверенностью. Однако BDS-тест найдет линейную, так же как и нелинейную зависимость в данных. Поэтому для этого испытания необходимо взять AR(1)-разности, как мы делали для R/S-анализа. Кроме того, подобно R/S-анализу зависимость может быть стохастической (как процесс Херста, или GARCH), или она может быть детерминированной (как хаос).

Я взял профамму BDS-статистики из работы Дечерта и использовал ее для следующих испытаний. Для проведения испытаний нужно выбрать значение радиуса е и размерности вложения т. Как и в вычислениях корреляционной размерности, описанных в моей предыдущей книге, существует диапазон значений е, где можно вычислить вероятности. Этот диапазон зависит от числа наблюдений Т. Если с является слишком маленьким, не будет достаточного количества точек для захвата статистической структуры; если е является слишком большим, точек будет слишком много. Следуя примеру Лебарона (LeBaron, 1990) и Хсие (Hsieh, 1989), мы будем использовать е = 0,50 стандартного отклонения наборов данных. Задав значение е в соответствии с размером данных, мы можем, вероятно, преодолеть эти проблемы.

Мы должны выбрать размерность вложения, благодаря которой получающееся в результате воссоздание фазового пространства не будет ни слишком редким, ни слишком переполненным. Если m является чересчур маленьким, точки будут располагаться слишком плотно. Если m является чересчур большим, точки будут слишком отдаленны. Для целей этого примера мы будем использовать m = 6. Хсие (Hsieh, 1989) проверил много размерностей вложения на валютах, и m = 6 давало результаты, сопоставимые с другими более высокими (и более низкими) размерностями вложения.

Примеры, данные здесь, не новы. Лебарон (LeBaron, 1990) провел исследование курсов акций, также как и Брок (Brock, 1988). Хсие (Hsieh, 1989) проводил обширные испытания валют и выполнил полный набор экспериментов методом Монте-Карло, которые мы опишем ниже.

Я исследовал уравнение Макки-Гласса без шума, с одним стандартным отклонением наблюдаемого шума и с одним стандартным отклонением системного шума. Я также проверил дробный шум с Н = 0,72, который мы использовали ранее, а также смоделированный ряд GARCH, использованный в Главе 5. В соответствии с более ранними утверждениями о линейной зависимости я снова использовал AR(1)-разности для всех испытаний в этой главе. Результаты приведены в Таблице 16.1.

Уравнение Макки-Гласса без шума показывает, как и ожидалось, высоко значимую BDS-статистику, равную 112. Кроме того, зафязненные шумом системы Макки-Гласса имеют значимые BDS-статистики, хотя и на более низких уровнях. Смоделированный ряд GARCH также показывает значимую BDS-статистику, равную 6,23, так же как и ряд дробного шума при 13,85. В этих смоделированных рядах показано, что BDS-статистика чувствительна к нелинейной зависимости и в

детерминированной, и в стохастической форме. Она устойчива отгносительно шума, когда используется в анализе детерминированной системы.

Таблица 16.1 BDS-статистика: смоделированные процессы

в Таблице 16.2 показаны результаты для 20-дневных и пятидневных рядов индекса Доу-Джонса, использованных в Главе 8, а также результаты для ежедневной иены. Мы снова видим, что все они являются значимыми - и удивительно большими. Однако ежедневная статистика японской иены, составляющая 116,05, совместима со значением Хсие (Hsieh, 1989), составляющим 110,04, для тех же самых значений R и т. Лебарон (LeBaron, 1990), используя еженедельные данные S&P 500 с 1928 г. по 1939 г., нашел, что w = 23,89 для m = 6.

Таблица 16.2 BIXS-статистика: рыночный временной ряд

Это очень близко к найденному нами значению w = 28,72 для пятидневных прибьшей по индексу Доу-Джонса (1888 - 1990 гг.), даже притом, что наши данные охватывают намного более длинный интервал времени. Лебарон нашел, что в течение десятилетних периодов значение w значительно варьировалось. Учитывая четырехлетний цикл фондовой биржи, найденный посредстюм R/S-анализа, такая изменчивость в коротких интервалах времени не является необычной. В конце концов, десять лет составляет только 2,50 орбиты.

Хсие (Hsieh, 1989) и Лебарон (LeBaron, 1990) выполнили моделирования BDS-статистики по методу Монте-Карло и нашли, что она устойчива по отношению к гауссовой нулеюй гипотезе. Таким образом, подобно R/S-анализу, она может легко найти зависимость. Если линейная зависимость найдена, BDS-статистика является значимым тестом на нелинейность. К сожалению, она не может различать дробный шум и детерминированный хаос, но если ее использовать в сочетании с другими испытаниями, она представляет собой мощный инструмент.