Тел.факс: +7(831)437-66-01
Факторинг  Анализ финансовых западных рынков 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 [ 87 ] 88 89 90 91 92

Z(-l)

(АЗ.З)

В действительности с бесконечным рядом трудно работать. К счастью, Бергстром также привел эквивалент конечного ряда для уравнения (АЗ.З), который мог использоваться, когда а > 1. Для и > О это дает:

л: t:! к\

1 .v-(-l)* Г{а*к + \)

а*к+\

+ R(u) (А3.4)

R (и), остаток, является функцией и

.,- *(п+1)-1

. То есть для константы М:

R(u)<M*u- * *- (А3.5)

По мере того как и становится больше, остаток R(u) становится меньше, чем предыдущий член в суммировании. Уравнение (А3.4) является асимптотическим для большого и.

Почленное интефирование уравнения (АЗ.З) дает сходящийся ряд для функции распределения стандартизированной, симметричной устойчивой переменной с а >1:

Разница заключается в том, что устойчивое распределение имеет среднее О и с = 1. Обычно мы нормализуем временной ряд, вычитая выборочное среднее и осуществляя деление на стандартное отклонение. Стандартизированная форма устойчивого распределения, по существу, является такой же. 5 - среднее распределения. Тем не менее, вместо деления на стандартное отклонение, мы делим на параметр масштабирования с. Вспомните из Главы 14, что дисперсия нормального распределения равна 2*с. Следовательно, стандартизированное устойчивое распределение, где а = 2,0, не будет таким же, как стандартное нормальное распределение, поскольку коэффициент масштабирования будет другим. Устойчивое распределение изменяет масштаб на половину дисперсии нормального распределения. Мы начинаем со стандартизированной переменной, потому что ее логарифмическая характеристическая функция может быть упрощен следующим образом:

loge9u(0 = -tr (А3.2)

Как мы говорили в Главе 14, явные выражения для устойчивых распределений существуют только для частных случаев нормальных распределений и распределений Коши. Однако Бергстром (Bergstrom, 1952) разработал разложение в ряд, которое Фамэ и Ролл использовали для приближения плотностей для многих значений альфы. Когда а > 1.0, они могли использовать результаты Бергстрома для выведения следующего сходящегося ряда:

2*к + 1



1 1

2 7Г*а 77 (2*А:-1)!

Подобным образом интефирование уравнения (А3.4) также приводит к следующему асимптотическому ряду для большого и:

Я tt mi *

R{u)du (А3.7)

Интефал остаточного члена R(u) будет стремиться к нулю в пределе.

Практически, Фамэ и Ролл использовали уравнения (АЗ.б) и (А3.7) при вычислении функций распределения. Подход состоял в том, чтобы использовать уравнение (АЗ.б) для небольшого и и уравнение (A3.7) для большого и. Однако на практике они нашли, что оба уравнения согласуются до пяти десятичных знаков, за исключением того случая, когда а бьша близка к 1. Для а близкой к 1 они использовали уравнение (А3.7), когда и > - 4 + 5*а, и уравнение (АЗ.б) во всех других случаях.

Наконец, Фамэ и Ролл дали следующую итерационную процедуру для определения u(a,F), которую я привожу здесь полностью:

1. Сделайте первое приближение Z к u(a,F), взяв взвешенное среднее значение F квантилей распределений Коши и гауссовых распределений.

2.Если Z > -4 + 5*0, скорректируйте его, используя полиномиальную инверсию первых четырех членов из конечного ряда.

З.Повторите следующим образом:

(а) Вычислите F - Fa(Z).

(б) Измените Z согласно:

где d - взвешенное среднее значение плотностей Коши и Гаусса, определенных в точке Z.

(с) Вернитесь к (а) и повторяйте процесс до тех пор, пока F - Fa(Z) < 0,0001. Процедура редко требует больше трех итераций

АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ МЕТОДЫ

Существуют и другие методы вычисления устойчивых распределений, которые не так хорошо дркуешгльпо зафиксированы. Маккаллок (McCulloch, 1985) кратко описал их. Он сослался на интегральное представление, данное Золотаревым (Zolotarev, 1966), в дополнение к представлению сходящегося ряда Бергстрома



Приложение з

(Bergstrom, 1952), использованного Фамэ и Роллом.

Кроме того, Дюмушель очевидно представил распределения в виде таблицы в своей неопубликованной докторской диссертации в 1971 г. Мне не удалось получить копию тех таблиц, но я все же нашел описание методологии Дюмушеля в более поздней работе (1973). Дюмушель воспользовался тем фактом, что обратное преобразование Фурье характеристической функции ведет себя подобно плотности распределения. Для О < х < 10 он инвертировал характеристичестою функцию (уравнение (А3.2)), используя быстрое преобразование Фурье (БПФ), и вычислил плотности в числовой форме. Для областей хвостов, х > 10, он использовал уравнение (А3.7), также как сделали Фамэ и Ролл. Наряду с тем, что такое вычисление легче провести, результаты должны бьггь подобны результатам Фамэ и Ролла (Fama and Roll, 1971).

Символические языки, теперь доступные для ПК - например, Mathcad, Matlab и Mathematica - должны сделать осуществление метода Дюмушеля довольно понятным. Существуют и другие таблицы. Холт и Кроу (Holt and Crow, 1973) свели в таблицу функции плотности вероятности (в противоположность функциям распределения Фамэ и Ролла) для различных значений аир. Если вас интересует эти таблицы, обратитесь к их работе.

ОПИСАНИЕ ТАБЛИЦ

Таблица А3.1 - функция распределения для стандартизированных, симметричных (Ь = 0) устойчивых распределений. Она охватывает диапазон от 1,0 до 2,0. Частотное распределение для стандартизированных значений может быть найдено через вычитание, также как и для стандартной нормальной функции распределения (которую можно найти во всех книгах по статистике). Хотя а = 2,0 сопоставима с нормальным распределением, эти таблицы не будут согласовываться, потому что они стандартизированы к с, а не к а, как мы говорили ранее.

Таблица А3.2 преобразовывает результаты Таблицы А3.1 в квантили. Чтобы узнать, какое значение F объясняет 99 процентов наблюдений для а= 1,0, опуститесь по столбцу F влево к 0,99 и поперек к значению и=31,82. Распределение Коши требует наблюдений 31,82 значений с от среднего, чтобы охватить 99 процентов вероятности. Напротив, нормальный случай достигает 99-процентного уровня при и=3,29. Это отличается от стандартного нормального случая, который составляет 2,326 стандартных отклонений, а не 3,29 единиц с.

В Таблице АЗ.З приводятся дальнейшие подробности квашилей для 0,70<Р,75, которое используется в Главе 15, чтобы определить с для оценки опционов.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 [ 87 ] 88 89 90 91 92