2.5 Диверсификация Марковица

Множество недоминируемых портфелей, называемое эффективной границей, может быть построено решением общей задачи минимизации риска, впервые рассмотренной Марковичем:

i J

при двух ограничениях. Первое ограничение фиксирует желаемый уровень доходности, а второе ограничение нормирует весовые коэффициенты портфеля (без ограничений на короткую позицию):

Х:а,1;(г.)-ВД = о,

Целевая функция Лагранжа для задачи минимизации риска при фиксированпом уровне доходности записывается так:

L = EE . i<0- + Ai(E .--.) - + А2(Х:а.- - !)

i j i i

Портфель, минимизирующий риск, находится, если положить dL/dai = dL/d\j = О для всех акций i и для j = 1,2. Эти условия первого порядка определяют систему уравнений, линейную но весовым коэффициентам портфеля и множителям Лагранжа и потому решаемую с помощью матричных методов (с возможностью использования стандартных пакетов). Например, целевая функция для задачи с тремя типами акций записывается так:

L = аап + 020-22 + а1(Тзз + 2aia2<Ti2 + 2aia3<Ti3 + 2а2аз<Т2з+

+Ai(aii;i -f а2£2 + зз - Ё) + \2ioi1 -f аг + аз - 1).

Условия первого порядка для данной задачи

dL/dai = 2ai<Tii + laja + 2аз<Т1з + XEi + Aj

дЬ/да2 = 2а2<Т22 + 2aiO-i2 + 2аз<Т2з + Х1Е2 + А2 dL/даз - 2аз<Тзз + 2ai<Ti3 + 2а2<Т2з + Ахз + А2 dLldXi = aiEi + 022 + 3Р3 - Р = О, дЬ/дХ2 = ai + а2 + аз - 1 = 0. В матричной форме

О, О,

Если обозначить матрицу риск-доходность через V, вектор (а,Л) через Л и вектор в правой части через W, то мы должны решить относительно А систему уравнений

VA = W.

Инвертируя матрицу риск-доходность , получим реше-

ние:

A = V-HV.

Данное решение определяет оптимальный портфель из акций трех типов, реализующий требуемую доходность (при минимальной дисперсии). Варьируя желаемую доходность, можно построить всю эффективную границу. Заметим, что для определения эффективной границы как функции Ё достаточно двух последних столбцов матрицы V~, поскольку первые три компоненты вектора W равны нулю. Это иллюстрируется следующим примером.

Пример

Рассмотрим три рисковые ценные бумаги, характеризую-

щиеся следующими рисками и доходностью:

Ожидаемая Вариация Ковариация

Акция 1 Акция 2 Л кция 3

доходность .03 .07 .15

доходности .25 .45 .90

-.05 .45 .20

При данной информации матрица V равна

а вектор W равен

/0 О О

Обратная матрица для V равна

(bj)

(1,2) (2,3) (1,3)

/ 0.430108 -0.64516 0.215054 -5.10753 0.787634 \

-0.64516 0.967742 -0.32258 -4.83871 0.693548

0.215054 -0.32258 0.107527 9.946237 -0.48118

-5.10753 -4.83871 9.946237 -79.9731 0.490591

V 0.787634 0.693548 -0.48118 0.490591 -0.14671