применяться для определения процентной ставки, которую мы используем при дисконтировании рисковых финансовых потоков.

При выводе этого уравнения мы использовали тот факт, что инвесторы оценивают только ожидаемую доходность и ее дисперсию. Предположив, что рынок находится в равновесии, мы получили приведенное выше уравнение, которое характеризует равновесные доходности. Очень важно, однако, попять, что данное уравнение характеризует равновесные цены лишь частично. Фактически, не производя дальнейшего анализа, мы не обладаем даже достаточной информацией для определения равновесных цен: нам необходимо знать рыночную цену риска. Для этого нам потребуется детально рассмотреть проблему со стороны инвесторов, что мы до сих пор в основном игнорировали.

2.10 Равновесный анализ формирования цен в условиях неопределенности

Формулировка, которую мы примем, слегка отличается от той, что рассматривалась ранее. Мы предполагаем, что инвесторы избегают риска и интересуются размером капитала па конец периода. Капиталы в начале периода считаются заданными. Выплаты по ценным бумагам, в которые можно инвестировать капитал, являются стохастическими, и мы снова предполагаем, что конкретные выплаты в конце периода будут зависеть от реализованного состояния мира. Инвесторы могут формировать портфели рисковых активов, и следовательно, финальные выплаты будут зависеть от состояния мира. Мы предполагаем, что инвесторы оценивают портфель по величине ожидаемой полезности (см. приложение). Мы сделаем более специфическое допущение относительно предпочтений инвесторов, а именно, предположим их квадратичными.

Следствием такого допущения является то, что инвесторы интересуются только ожидаемой доходностью и дисперсией, но не другими характеристиками своего портфеля.

Инвесторы будут формировать портфель так, чтобы максимизировать ожидаемую полезность при ограничениях по начальному капиталу и но предложению бумаг на рынке. В условиях конкурентного рынка установление равновесных цен на финансовые активы означает, что:

1. Инвесторы формируют портфели, максимизирующие ожидаемую полезность.

2. Предложение активов каждого вида равно спросу. Конкурентное равновесие в экономике с неопределенностью строится следующим образом.

Во-нервых, при данных ценах мы докажем справедливость теоремы об инвестировании в два фонда. Во-вторых, мы определим равновесную стоимость каждой фирмы в экономике. После этого легко подсчитываются равновесные цепы па каждую акцию.

Напомним, что если инвесторы интересуются только ожидаемой доходностью и дисперсией доходности портфеля, то они будут формировать свой портфель как комбинацию только рыночного портфеля Л/ и безрискового актива. Одним из следствий этого результата является факт, что доля стоимости фирмы г, принадлежащая инвестору к, равна доле фирмы j. Пусть Vi и Vj обозначают рыночные стоимости этих фирм, а Zf и Zj - доли стоимостей, принадлежащих инвестору к, так что количество денег, вложенных инвестором к в фирму г, равно zfVi. Тогда легко получить равенство = Zj. Напомним, что У* обозначает количество денег, вложенных инвестором к в рисковые активы, и т,- обозначает долю фирмы i в рыночном портфеле. Тогда стоимость фирмы i в портфеле инвестора к равна т,У*. Таким образом, мы имеем zf Vj- = т,У*, так что условие Zi = Zj будет выполнено, если m,y*/Vi = rrijYjVj,

или rrii/Vi = nij/Vj. По последнее равенство следует непосредственно из определения т,- и ruj. Поскольку т,- = где V - суммартгая рыночная стоимость всех (J)Hpir, мы получаем mi/Vi=l/V = mi/Vj.

Для аналитического удобства спрос каждого инвестора задается как желаемая (для владения) доля каждой фирхгы. Мы покажем, что из предположения о квадратичности (ункций полезности вытекает, что каждый инвестор желает владеть одной и той же долей во всех (1)ирмах. Этот факт существенно используется при выводе основного уравнения для рыночной стоимости фир1[ы. Оказывается, что стоимость каждой (1)ир-иы может рассматриваться как текущая стои!гость ее будущих доходов, скорректированных с учетом риска .

Обозначения и допущения

F - Конечная оценка капитала

г - Единица плюс безрисковый

процент (кредиты даются под данный процент) Zj - Доля ()ИрМЫ j,

принадлежащая инвестору к Vj - Гьпючпая стоимость фирмы j

Xj{s) - Выплаты фирмы j в состоянии s

7r(s) - Вероятность состояния S

fij - Математическое ожидание

- величины Xj

(Tij - Ковариация величин х,- и Xj

- Пачальпый капитал инвестора к [/* = f - с*/ - Функция полезности инвестора к

Построение равновесия

Капитал инвестора к в состоянии s (в конце периода) оценивается фор\гулой

F\s) = rWY.[)-n- (2.1)