Си = dSu + г6 и Ci = dSd-\-Tb.

Из этих двух уравнений следует, что д тлЬ должны быть:

Си - Cd uCd - dCu S{u-dy r{u-d) -

Если мы выбираем д к b в соответствии с этими уравнениями, то наш портфель из д акций и $6 безрисковых активов порождает те же самые платежи, что и колл-опцион. Но тогда цена колл-опциона должна равняться цене (эквивалентного) портфеля, иначе можно было бы получить чистую арбитражную прибыль. Это означает, что цена опциона есть

C = dS + b.

Подставляя данные из рассмотренного выше примера, мы снова получим С = {S - 20)/2.

Это уравнение имеет вид линейной зависимости между S и С, так что д можно рассматривать как производную от С по S, т. е. как меру чувствительности цены колл-опциона на акцию по отношению к цене этой акции. Эта величина обычно называется дельтой опциона. Ясно, что д = 1/к, где к - коэффициент полного хеджирования.

Аналогичная зависимость выводится и для европейского пут-опциона. Требуя, чтобы

Ри = dSu -f г6,

Pd = dSd-\-rb,

получим, что

я Pu-Pd , Pd - dPu р

д = -.--рг, Ь = -.-J- и Р = OS + Ь.

S(u-dy r(u-d)

Дж. ОБрайен С. Шривастава

Financial Analysis and Security Trading

ФИНАНСОВЫЙ АНАЛИЗ

И ТОРГОВЛЯ ЦЕННЫМИ БУМАГАМИ

Finoncial Trading System

Time Remaining 37 Cash : 3534

Interest Rate : 10.00

Заметим, что дельта пут-опциона отрицательна, так как Ри<Ра.

3.5 Взаимосвязь пут-колл для европейских опционов

Кроме связи между ценами акций и опционов, показанной на биномиальной модели, существуют и другие, более сложные зависимости между ценами акций и опционов. Одна из таких зависимостей называется взаимосвязь пут-колл (put-call parity). При нулевом проценте она имеет вид

P-C + S = X.

Для доказательства предположим сперва, что

P-C + S>X.

В этом случае поступим так: продадим акцию, продадим пут-опцион и купим колл-опцион. От этой операции мы выручим Р - С + S. Если цена акции в конце периода окажется больше X, то пут-опцион не исполняется, а колл-опцион надо исполнить, чтобы получить акцию по цене X. Эта акция закроет нашу короткую позицию, так что в конце периода весь расход составит X. Если же цена акции в конце периода окажется меньше X, то колл-опцион исполнять невыгодно, зато против нас исполняется пут-опцион, и мы обязаны купить акцию по цене X. Эта акция закроет нашу короткую позицию. Итак, независимо от того, больше цена акции, чем X, или меньше, мы тратим X в конце периода. Но мы получили ранее Р - С + S > X, так что наша прибыль гарантируется независимо от колебаний будущей цены акции. Таким образом, данное соотношение цен невозможно.