получены на основе информации о периоде 2 вместо прямого вычисления по формуле максимума.

Двухнериодную модель можно расширить на любое число периодов. При этом коэффициенты и и rf, а также ставка процента г могут меняться от периода к периоду. Хотя на каждом шаге цена акции может принимать лищь два значения, при большом числе периодов можно аппроксимировать достаточно плавно изменяющуюся цену. Например, если опционы исполняются в конце торгового дня, периодом можно считать один час (соответственно подобрав величины и, d и г). Если до конца дня остается 7 часов, то финальная цена акции, в соответствии с многопериодной биномиальной моделью, может иметь 2 = 128 значений.

Далее мы совершим предельный переход, когда число периодов бесконечно увеличивается, а длительность одного периода становится бесконечно малой. А сейчас рассмотрим прием, называемый нейтральной к риску оценкой (risk-neutral probability) и упрощающий этот предельный переход, приводящий к формуле Блэка-Шоулза.

3.7 О нейтральной к риску оценке

Как мы уже видели, для вычисления цены европейского колл-опциона можно использовать портфель из акций и безрисковых активов, воспроизводящий ноток платежей от опциона. Из соотношений

Cu = dSu + rb, Ca = dSd+rb мы получили, что

Си - uCd - dCu

S{u-dy r{u-d)

и цена колл-опциона С = dS + b. Подставляя д и b, получим:

Си - Cj uCd - dCu Siu-d) T{u-d)

rCu - rCi + uCd - dCu (r - d)Cu + (ц - r)Ci r{u-d) r{u-d)

T. c.

С = С /г + (1-7г)С,/г,

{u-dy {u-dY

Так как u>r>rf, тоО<7Г<1, так что тг можно трактовать как вероятность. Тогда, согласно полученному выражению, цепа колл-опциона есть средняя будущая цена опциона, дисконтированная на безрисковый процент, а среднее значение нодсчитывается на основе вероятности появления цены акции, равной Su.

Отсюда следует, что если мы имеем нейтрального к риску субъекта, который считает, что колл-опцион будет стоить Си с вероятностью тг и с вероятностью (1 - тг), то этот субъект будет вычислять текущую цену опциона с полном соответствии с выведенным нами уравнением. Заметим, что мы нигде не предполагали наличия априорных вероятностей появления той или иной цены акции и, соответственно, будущей оценки опциона. Изложенный подход называется нейтральной к риску оценкой.

Вероятность тг допускает и другую интерпретацию, связанную с ценой акции. Заметим, что

(r-d)Su (u-r)Sd -kSu -I- 1 - Tr)5rf = Ц--- + .- =

r-rf)u + (u-r)rf, ,ru-du-\-du-Td так что

5 = KSu/r + {l-Tr)Sd/r.

Другими словами, только вероятность тг совместима с гипотезой нейтральности к риску инвесторов при данных текущей цене 5 и возможных будущих ценах Su и Sd, а также коэффициенте дисконтирования г. Поэтому тг можно назвать нейтральной к риску вероятностью .

Еще раз подчеркнем, что в наших начальных предположениях не было ни вероятностей, ни рассчитывающих на средний доход инвесторов, ни самого понятия среднего дохода. Мы всего лишь воспроизвели ноток платежей от колл-онциона с использованием финансовых инструментов - акций и безрискового актива, цены на которые предполагались известными (г - цена кредита, Su, Sd - цены на акции). По наш подход работает лишь тогда, когда возможно воспроизведение. Если бы такое воспроизведение оказалось невозможным, мы бы ничего не смогли сделать.

Каким образом можно согласовать нейтральную к риску оценку с моделью определения цены на фонды, такой как САРМ, в которой для оценки активов приходится решать сложные задачи? Ответ заключается в том, что весь риск, связанный с обладанием опционом, может быть устранен с помощью акций и (безрисковых) облигаций. Эта возможность и лежит в основе принципа нейтральной к риску оценки.

Этот принцип, применимый, в частности, к биномиальным моделям событий, в других случаях требует модификации. Пусть, например, цена акции к концу периода может не только повышаться до Su и понижаться до Sd, но и оставаться постоянной на уровне 5. Рассмотрим однонериодпйй колл-опцион, и пусть цена иснолнения X отвечает условиям Sd < X < S < Su. Платежи но опциону будут Su - X, Sd - X и 0. Если мы хотим воспроизвести их посредством п акций и т безрисковых облигаций, мы должны выполнить условия