(здесь В - цена безрисковой облигации в начале периода):

nSu + mBr = Su-X,

nS + тВг = S - X, nSd+тВг = 0.

Эта система из трех уравнений с двумя неизвестными (п и т) решения не имеет. Таким образом, только при помощи акций и облигаций нельзя полностью устранить риск от опциона. Это можно было бы сделать лишь при наличии третьей, независимой от первых двух, ценной бумаги.

В рамках многопериодной биномиальной модели можно определить цену опциона и тогда, когда число возможных конечных значений цены акции больше двух. Если, например, в двухнериодной модели положить и = то два из четырех возможных конечных значений цены сольются, Sud = Sdu = S] если донолпительно нредноложить, что Sdd < X < S < Suu, то возникает задача с тремя состояниями, которая не может иметь решения в рамках биномиальной модели. Тем пе менее решение есть даже в более общем случае, когда иф l/d.B чем же здесь дело?

Дело в возможности продолжить торговлю после первого периода. Мы не обязаны сохранять наш портфель неизменным во втором периоде и можем его изменить. Собственно, мы уже видели в предыдущем разделе, что коэффициент полного хеджирования изменяется от периода к периоду.

Итак, пусть Пц, пл, т, разрешают систему уравнений:

TiuSuu + гПиВг = Suu - X, TiuS + niuBr = S -X, nS + тВг = S - X, riiSdd + mdBr = 0 93

(индексы и и d соответствуют двум состояниям, II я L, на конец первого периода). Отсюда цены опционов для каждого из состояний суть

Си = nSu + тВг, \

d = nSd + тВг. Теперь осталось найти п и m на первый период из системы

nSu + тВг = Си , nSd + тВг = Cd , что позволит определить текущую цену опциона:

C = nS + тВ.

Возможность продолжать торговлю, т. е. изменять портфель при переходе от периода к периоду, как бы увеличивает количество имеющихся в нашем распоряжении ценных бумаг.

Кроме оценки опциона мы можем применить данный подход к задаче хеджирования (ограничения) риска. Пример - динамическое хеджирование портфеля ценных бумаг. Пусть мы управляем портфелем ценных бумаг и хотим застраховаться от падения стоимости этого портфеля ниже определенной величины, например X, через три месяца. Простейший способ - это купить пут-опцион на этот портфель с ценой исполнения X и сроком погашения три месяца. Пусть, однако, торговля такими онционами не производится. Если цена портфеля изменяется согласно биномиальной модели (либо согласно обсуждаемой ниже лог-нормальной модели), то можно воспроизвести пут-опцион посредством достаточно частой (в пределе - непрерывной) торговли, создавая тем самым искусственный опцион на этот портфель. Разумеется, при слишком

активной торговле мы столкнемся со значительными трапзак-ционными издержками, так что в реальности точное воспроизведение требуемого пут-опциона невозможно.

3.8 Много периодов

Метод нейтральной к риску оценки распространяется на мно-гопериодные модели. Если и, d и г постоянны, формулы упрощаются. Для двух периодов, подставляя в формулу нейтральной к риску оценки С выражения для С и через Си, Сил, Cdu, с id посредством той же формулы, получим:

С = [ж1т]Сии + [(1 - )/г]С ,+

m->lr]Cd. + [{\-)lr]Cdd

или с = il/r )Y, (1 - тлх{0,5иЧ- - X}. j=o

(Здесь и далее ( ) = n\/j\{n -

Для п периодов формула имеет вид

С = J2 ( ) ( ~ 7г) --шах{0,5и й -- - А}.

Пусть т - наименьшее целое значение, при котором Su d - > X, тогда

С = (1/г ) Ё ( ):г(1 - - X] =