3.9 Лог-нормальная модель

Пусть St - случайная цена акции в периоде t, t = 1,... ,Г - заданный интервал периодов. Вместо того, чтобы переходить к пределу в биномиальном процессе, можно напрямую предположить, что темп роста цены акции ln(5t/5< i) распределен нормально со средним fi и дисперсией а. (Заметим, что при переходе к пределу в биномиальном процессе нам не понадобилось такое предположение.) Если темпы роста цены независимы во времени, то величина 1п(5т/5) также распределена нормально со средним значением рТ и дисперсией аТ. Соответственно, St распределена лог-нормально со средним значением Sexp{{n + о/2)Т}, а величина (1п(5т/5) - рТ)/(т\/Т распределена нормально со средним О и дисперсией 1.

При этих предположениях техника нейтральной риску оценки дает нам, что

С = Е{Ст)г~ 1 где Ст - случайная цена колл-опциопа на дату погашения.

Е{Ст) = E{St\St > X) - XP{St > А).

(P{St > X) обозначает вероятность того, что St > А.) Можно показать, что

£(5,15. > А-) = Se-*-- N{d,). <t, =

Используя некоторые свойства лог-нормального распределения и нейтральной к риску оценки, можно получить формулу Блэка-Шоулза для цены опциона (Black-Scholes option pricing formula):

С = SN{di)-Xr-N{d2). 99

Здесь

= t/ ) + il/2)aVT, d, = d,- aVT.

3.10 Американский колл-опцион

Анализ европейского колл-опциона, проведенный нами выше, применим и к американскому колл-опциону, по крайней мере если до наступления срока погашения не выплачиваются дивиденды. Чтобы убедиться в этом, вернемся к однопериод-1юй биномиальной модели. Цена колл-опциона С удовлетворяет следующей цепочке соотношений:

Сг = 7гС + (1 - 7г)С<г =

= тгта.х{0, Su - Х} + {1 -k)ma.x{0,Sd- X} = = 7гтах{Х,5и}-Ь (1 - 7r)max{X,5d} - X > Sr - X, откуда

С > 5 - Х/г > S -X, так как г > 1.

Таким образом, цена колл-опциона превышает доход от его исполнения, т. е. колл-опцион не будет исполнен досрочно.

3.11 Американский пут-опцион

Оценим теперь выгодность досрочного иснолнения пут-опциона:

Рг = 7гР -t-(1 - 7г)Р<г = = 7гшах{0,Х - 5и}-Ь (1 - 7г)шах{0,Х - 5d} = = A-t-7rmax{-X,-5u}-t-(l-7r)max{-X,-5d} =

= X - тг mm{X, 5u} - (1 - тг)тш{Х, Sd} > > X -Sr,

следовательно, P > X/r- S. Тем не менее досрочное исполнение может оказаться выгодным, поскольку может оказаться, что

X -S> P>X/r-S.

Фактически, если 5 находится на достаточно низком уровне по отношению к X, исполнить пут-онцион выгодно. Например, если X > Su, так что опцион будет обязательно исполнен в конце срока, нейтральная к риску оценка составит

Р = (Х - Su) + -{Х - Sd),

так что Р = X/r-S, что строго меньше, чем X-S, поскольку г > 1. В этом случае нут-опцион следует исполнить досрочно.

Из-за возможности досрочного погашения мы не можем использовать формулу Блэка-Шоулза для оценки американского пут-опциона. Фактически таких формул нет, и для вычисления цены приходится прибегать к численным методам. Один из таких методов (Кокс, Росс, Рубинштейн) использует биномиальную аппроксимацию, когда в каждом узле оценивается возможность досрочного погашения.

3.12 Дивиденды и американские колл-опционы

Еще один случай, когда досрочное исполнение оказывается выгодным, возникает при выплате дивидендов. Пусть текущая цена акции есть 5 и на одну акцию полагается дивиденд D в конце периода, когда наступает срок погашения колл-опциона. Тогда в однопериодной биномиальной модели цена изменяется следующим образом: