наведенной форвардной ставкой между периодами tuT, вычисленной сегодня, называется величина ,гт, удовлетворяющая уравнению:

(1 + оГ,)(1 + ,гт)- = (1 -Ь оГтГ- (1.3)

Если мы знаем доходность к ногащепию в любом периоде, мы можем вычислить цену, или текущую стоимость, любого потока платежей. Таким образом, если о г, является доходностью <-нсриодной бескупонной облигации и мы получаем платеж С( в момент времени t, тогда

Р=- + -+ . + - (14)

(1 + оГ1) + (1+оГ,) (1 + оГт)

При расчете доходности к ногащению нельзя забывать, что мы неявно исходим из предположения, что все денежные поступления каждый период реинвестируются под процент, соответствующий доходности, на оставщсеся до погашения время. Чтобы доходность облигации реализовалась в виде реального дохода, нужно чтобы либо не было неопределенности в процентных ставках, либо облигация была бескуноппой.

Рассмотрим купонный контракт, составленный как портфель (portfolio) бсскунонных облигаций. Этот портфель сформирован так, чтобы платежи от Г бескунонных облигаций в точности соответствовали платежам купонной облигации. В этом случае каждая бескунонная облигация должна иметь собственный срок погашения так, чтобы были представлены все даты от 1 до Т. Пусть ноток платежей такого портфеля соответствует платежам в уравнении (1.2) (ССг,.. .,Ст)- Текущая стоимость этих будущих платежей определяется текугци-ми доходностями в соответствии с равенством (1.4). Уравнения (1.2) и (1.4) будут эквивалентны, если кривая доходности горизонтальна (т. е. текущая процентная ставка не зависит от времени до погашения). Эквивалентность предполагает, что

купонные выплаты сразу реинвестируются под процент, соответствующий текущей доходности к погашению. В мире без неопределенности процентных ставок будущие значения доходности к погашению точно определены, и для держателя облигаций нет реинвестиционного риска (reinvestment risk). Однако на практике неопределенность процентных ставок имеет место, поэтому изменения доходности имеют стохастический характер и существует реинвестиционный риск.

1.1 Риск, связанный с изменением процентной ставки, и теорема об иммунитете облигаций

Одним из способов контроля риска при изменении цен облигаций в связи с изменением процентных ставок (процентный риск), или хеджирования (hedging) риска, является управление дюрацией портфеля облигаций и использование теоремы об иммунитете. Понятие дюраци (duration) было впервые введено Макколи и характеризует чувствительность стоимости облигаций к изменению процентных ставок. Ниже мы временно опустим индексы при г для упрощения обозначений. Пусть г обозначает доходность облигации к погашению, тогда г удовлетворяет уравнению:

С С С C + -F

1 + г+ (1 + г)2 + ---+ (1-brf-i + (l + r)

где С - выплата по купону, F - номинальная стоимость облигации, Г - срок погашения и Р - текущая цена облигации. Перепишем равенство:

р=х:с,(1+г)л (=1

где с, = с при < < г и Ст = с + р.

Тогда можно записать дР

dPjp с,

дг1{1 + т) Р(1 + г)-

Формально Левая часть равенства является эластичностью цены облигации по отношению к (1 -f г) и характеризует процентное изменение цены облигации но сравнению с процентным изменением (1 -Ь г). Но есть и другая интерпретация. Заметим, что С((1 -f г)~*~ является текущей стоимостью платежа в периоде t. Поскольку

Г

р = Т -

1 = Е

Wt =

Р(1 + гу

является долей цены, которую вносит платеж в момент времени t.

Теперь мы можем переписать то же равенство как

дР/р

дг/{1 + г)

и поскольку

эта эластичность равна средневзвешенному времени погашения с весами №<. Тогда определим дюрацию Макколи так: