с дР/Р

Отметим, что дюрация бескупонной облигации в точности равна времени погашения, в то время как для купонной облигации она меньше этого времени.

Поскольку дюрация характеризует чувствительность цены облигации, или, в более общем смысле, потока платежей, к изменению доходности к погашению, мы можем пытаться управлять риском, связанным с изменением процентной ставки, используя дюрацию. Например, предположим, что вы должны заплатить $1000 ровно через два года. Тогда дюрация вашей задолженности равна 2. Одним из способов защиты от изменения процентных ставок является покупка бескупонной облигации с номинальной стоимостью $1000, погашаемой через два года. Если - процентная ставка на два года, то эта покупка обойдется вам в 1000/(1 -f ог) и ваши обязательства будут в точности соответствовать вашим активам.

Теорема об иммунитете (впервые получена Самуэльсоном) утверждает, что риск, связанный с изменением процентных ставок, можно хеджировать, выравнивая дюрации активов и задолженностей. Это правило основано на том факте, что процентный риск возрастает с уменьшением цены облигации и, наоборот, уменьшается с увеличением цены, и что облигации с разными сроками погашения реагируют по-разному на изменения процентных ставок. В результате, если процентная ставка растет, доход от реинвестиции купонов возрастает, но рыночная стоимость облигации падает, и наоборот, если процентная ставка падает, то стоимость облигации растет. Проиллюстрируем это правило на примере простого обязательства выплатить $С в момент времени t. Тогда текущая стоимость задолженности равна

г =

(1 + г)

и дюрация равна t. Назовем такую задолженность облигацией 1. Рассмотрим две бескунонныс облигации с номинальными стоимостями Ci и Сг и временами погашения ti и соответственно. Тогда

р2

(1 + г) (1 + г)

Портфель из двух таких облигаций назовем облигацией 2. Предположим, что

li<i<h, Р=Р\ и D = D\

где а - дюрации облигаций 1 и 2 соответствслло.

Пример

Рассмотрим текущую стоимость как функцию процентной ставки для двух потоков платежей: Альтернатива А;

В конце года 10 платеж равен $109. Других платежей нет. Альтернатива Б:

В конце года 2 платеж равен $22, а в конце года 18 - $135. Других платежей нет.

Альтернатива А имеет дюрацию 10. Если процентная ставка равна 12%, то дюрация альтернативы Б также равна 10. Заметим, что хотя дюрация каждой из компонент альтернативы Б известна (2 и 18 соответственно), мы не можем определить дюрацию этого потока платежей в совокупности, НС делая предположений о процентной ставке. При ставке 12% оба этих потока платежей имеют одинаковую текущую стоимость. Текущая стоимость (ТС) как функция процентной ставки определяется следующей таблицей:

Отмстим, что текущие стоимости равны при 12% (когда равны дюрации), а при любых других процентных ставках альтернатива Б всегда более ценна, чем альтернатива А.

Покажем, что соотношение между стоимостью облигаций и доходностью к погашению, продемонстрированное на этом примере, имеет общий характер.

Таким образом, когда доходность к погашению возрастает, текущая стоимость задолженности падает сильнее, чем текущая стоимость облигации 2, в то время как, если доходность падает, то стоимость задолженности растет медленнее, чем стоимость облигации 2. Поэтому облигация 2 защищает задолженность. Доказательство заключается в следующем. Мы знаем, что эти две облигации имеют одинаковые стоимости и одинаковые дюрации при ставке г. Это означает, что две кривые должны касаться в точке (г,Р). Известно также, что цепа убывает при возрастании доходности, поэтому обе кривые наклонены вниз. Теперь покажем, что вторая производная