разных вариантов потребления. Это моделируется при помощи функции полезности (utility function). В нашем случае задача потребителя заключается в выборе z, максимизирующем

и{Со) + (}U{Ci) при условии, что Co = Wo-zPkCi= zF.

Здесь и - функция полезности, а (J называется дисконтирующим фактором. Если /3 = О, то потребитель совсем не ценит будущее потребление. Если же /3 > 1, то потребитель ценит потребление в будущем выше, чем настоящее в следующем смысле. Предположим, мы начали с позиции, в которой Со = С*!, и предложили потребителю немного уменьшить Со, увеличив на ту же величину Ci. Тогда если /3 > 1, то потребитель примет наше предложение. Аналогично, если /3 < 1, то потребитель отвергнет это предложение, поскольку потребление в настоящем для него ценнее, чем в будущем. Обычно мы считаем, что О < /3 < 1.

Подставляя значения Со и Ci в функцию полезности, приведем задачу потребителя к следующему виду:

U{Wo-zP) + (JU{zF) max. Тогда условие первого порядка для этой задачи имеет вид:

-PUiWo - zP) + pFUizF) = 0.

Условие второго порядка будет выполнено, если U - (строго) вогнутая функция, что обычно предполагается. Вогнутость функции полезности связана с антипатией к риску. Это означает, что при прочих равных условиях потребитель всегда предпочтет более равномерную структуру потребления.

Условие первого порядка можно переписать:

Если г - процситная ставка па один период, то мы знаем, что Р = F/(l + г), так что F/P = (1 + г). Поэтому

Таким образом, если /3 = 1/(1 + г), то потребитель уравнивает маргинальные полезности потребления в обоих периодах; поскольку функция строго вогнута, это также означает равные потребления.

Эту формулу можно воспринимать следующим образом. (3 характеризует процентную ставку, по которой потребитель оценивает потребление в будущем по отпощению к настоящему. (1 + г) характеризует ставку, по которой настоящее потребление превращается в будущее. Поэтому если /3 > 1/(1 + г), то потребитель предпочитает больщее потребление в будущем, чем в настоящем, и наоборот, если /3 < 1/(1 + г).

Продолжим определение г (или, что то же самое, Р). Для этого рассмотрим конкретную функцию полезности:

и{С) = Iog(C),гдe log обозначает натуральный логарифм.

В этом случае U(C) = 1 /С, поэтому условие первого порядка переписывается в виде:

VFo -Pz Р откуда

Мы предположили, что существует п облигаций, в то время как Z - спрос на эти облигации. Таким образом, если спрос равен предложению, мы получим

+ 13 P

и цена (P) облигации определяется уравнением

Отсюда видно, что рост предложения (п) приведет к падению цепы облигации и увеличению процентной ставки, в то время как увеличение Wq приведет к росту цепы облигации. А что же /3? Увеличение /3 увеличивает как числитель, так и знаменатель дроби в равенстве. Однако дробь растет с ростом /3, поэтому увеличение /3 приведет к росту цены или падению процентной ставки.

В общем случае мы можем рассмотреть другие функции полезности и случай многих потребителей с различными предпочтениями. Вместо двух периодов можно рассмотреть больше. Этот случай мы разберем позже, что позволит нам рассмотреть множество раз1юобразных форм, которые может принимать временная структура.

Рассмотрим экономику с идентичными потребителями с логарифмическими предпочтениями потребления (С) па четырехточечной оси времени. Предположим, что предпочтения потребителей описываются

V = и(Со) + rnCi) + Ри(С2) + PUiC:,),

где функция полезности U(C) = log(C) - монотонно возрастающая и строго вогнутая по потреблению С (т. е. первая производная от U по С, 1/С, положительна, а вторая производная, - отрицательна). Коэффициент /3 представляет коэффициент предпочтения будущего потребления перед па-стоящим для каждого потребителя; будем предполагать, что 0</3< 1.