Предположим, что существует три вида бескупоиных облигаций со сроками погащения в периодах 1, 2 и 3 соответственно. Типичный потребитель i сталкивается со следующими бюджетными ограничениями:

1. Со = Wo - ZaPi - Zi2P2 - 2Г.-зРз,

2. Ci = znF,

3. Сг = Zi,F,

4. Сз = ZiF,

где Zij - число бескупонных облигаций с погашением в периоде j, приобретенных или проданных (в зависимости от знака) потребителем г. Задача каждого потребителя состоит в максимизации функции полезности при ограничениях (1.-4.); причем подставляя ограничения непосредственно в целевую функцию, получим задачу безусловной максимизации. При наших предположениях о функции V условия первого порядка по z.y являются необходимыми и достаточными условиями максимума. Условия первого порядка:

Р( I )+ = 0

dzn Wo- znPi - Zi,P2 - .-зРз ZnF

dzi2 Wo - znPi - Zi,P, - .-зРз Zi,F

= P( I ) + = 0

dzi3 Wo - znPi - Zi,P, - ZiP > ZiF

Преобразуя эти уравнения, получим описание спроса в виде системы линейных по z уравнений:

(l + /3)Pl2r.l + PP2Zi2+ PPzZiZ = /JlFo,

l3-PiZn+ (l + /3)P2..-2 + PPzZiZ = ЯКо,

PPlZn+ (iP2Zi2+ {l+l3)PzZiZ = ЯКо.

Эта система проще выражается в матричном виде:

Azi = С

и решается обращением А:

Z* = А-С.

В конкурентном рыночном равновесии цепа каждого вида облигаций такова, чтобы спрос уравновешивал предложение, тогда:

Yii z*j = суммарный выпуск облигаций вида j,

которое эквивалентно условию, что вектор цен должен удовлетворять равенству:

52,(Л~С)у - суммарный выпуск облигаций вида j.

Для демонстрации нахождения конкурентного равновесия сделаем следующие дополнительные предположения.

Пример

Равновесный анализ временной структуры процентных ставок

В экономике, определе1Шой выше, сделаем дополнительные предположения: и{Сг) = log(C,).

Общее число идентичных инвесторов равно 1 ООО ООО. /3 = 0.909091, Wo = $1000.

Общее предложение бескупонных облигаций каждого типа равно 2287 916.

Мы определим и найдем конкурентное равновесие, получив некоторые выводы относительно временной структуры процентных ставок.

Конкурентное равновесие

Конкурентные цены (Р1,Р2,з) бескупонных облигаций со сроком погашения 1, 2 и 3 соответственно удовлетворяют следующим условиям:

1. При данных ценах спрос z*j максимизирует функцию полезности инвестора при бюджетных ограничениях.

2. При этих ценах спрос и предложение па рынке каждого вида облигаций равны.

Нахождение равновесия Спрос на каждую бескупонную облигацию определяется условиями первого порядка из задачи типичного инвестора. Учитывая предположения о с)ункции V и подставляя ограничения в целевую функцию из условий первого порядка, получаем оптимальный спрос в матричной форме (как выше):

= л-с,

и условие баланса каждого рынка требует:

Zj- = суммарный выпуск облигаций вида j.

Данным параметрам соответствует следующее решение.

Текущая/форвардная ставкав периоде 1 = 0.1, 0.1, 0.1 (т. е. кривая доходности горизонтальна).

Текущие цены (ставки) для рынка бескупонных облигаций (F = $100):

Погашение в год 1 90.909, (0.10). Погашение в год 2 82.645, (0.10). Погашение в год 3 75.131, (0.10).