Конфигурация случайного блуждания

Теперь можно перейти к анализу наиболее вероятных конфигураций, которыми может достигаться то или иное число успехов в случайных испытаниях.

Это уже другая сторона проявления воли случая , в которой интерес представляет не только то, насколько успешной была серия испытаний, но и каков путь, т.е. конфигурация движения к данному результату.

Ниже мы вьщелим основные закономерности, которые характеризуют наиболее существенные особенности конфигураций, возникающих в дополнительном измерении как пространстве слзайных событий.

Если вновь вернуться к испытаниям с идеальной монетой, то их можно проводить по двум схемам:

1) путем повторения одинаковых серий (за счет изменения N при постоянном г); тогда мы убедимся в справедливости закона больших чисел: с ростом N разница между экспериментально получаемым значением к и к(ср), рассчитанным по теоретической модели, будет стремиться к нулю;

2) за счет увеличения продолжительности серии г при неизменности ее номера N, который останется равным 1.

Работу трейдера с определенным сигналом можно описать любой из этих схем. Но закономерные конфигурации удобнее иззать при фиксированном N.

Закон повторного логарифма: беспредел . Вспомним, что закон больших чисел, справедливый для бесконечного значения N, по существу, говорит о невероятности отклонения экспериментально наблюдаемого числа к от математического ожидания этой величины. Но этот закон не утверждает, что число успехов к обязано оставаться близким к нему в каждой конкретной серии испытаний, т.е. при каком-то определенном N.

А что же там происходит? Об этом говорит закон повторного логарифма. Существо этого закона в том, что в ходе отдельно взятой серии испытаний, сколь бы продолжительной она ни была, могут происходить даже самые маловероятные события.

Для дальнейших пояснений удобно вместо переменной к (число успехов ) ввести так называемое нормированное число успехов :

S*={k-k(cp)}/s.

Далее, опуская математические выкладки*, отметим два главных положения данного закона.

Там же. С. 209-214.

* Там же. С. 209-214. ** Там же. С. 278. * Там же. С. 190.

Первое. Хотя умеренные значения S* более вероятны, однако максимум этой величины (т.е. отклонение числа успехов от математического ожидания) будет медленно возрастать. Тем самым, появляется принципиальная возможность для возникновения сколь угодно больших отклонений. Это своего рода беспредел в случайном поведении.

В достаточно длинном ряду испытаний существует возможность сколь угодно большого отклонения от математического ожидания.

Разумеется, здесь нет противоречия закону больших чисел, поскольку равновесие должно естественным образом восстанавливаться, в частности, при бесконечном увеличении числа серий (N) испытаний.

Второе. Практически наверняка последовательность максимумов таких отклонений будет определяться по формуле:

S*(max) = (2loglogr)/2.

Именно в этом положении и заключено основное содержание закона повторного логарифма.

Согласно закону повторного логарифма, последовательность максимальных отклонений от математического ожидания может быть рассчитана по формуле; S*(max) = (2log log г).

Па основании этого закона принято делать вывод о том, что игрок, действующий в рамках модели идеальной монеты, может быть уверенным в одном: рано или поздно его выигрыш станет положительным**.

Однако не следует забывать, что у этого закона есть и оборотная сторона: рано или поздно баланс успехов и неудач станет отрицательным.

Таким образом, вполне надежный путь добиться выигрыша существует только для игрока, располагающего неограниченным капиталом. Для этого достаточно терпеливо выждать момент, когда, согласно закону повторного логарифма, обязательно наступит успех , после чего, издав победный клич, можно прекратить игру.

К сожалению, для игрока, который ограничен в средствах, далеко не всегда доступна такая нечаянная радость: может быть уже слишком поздно.

Как замечает В. Феллер, игроку с реально ограниченными ресурсами не остается ничего, кроме как воспользоваться своим правом закончить игру в благоприятный для него момент. Тогда ожидаемый результат игры не может быть оценен с помощью предельных теорем и нормального приближения, не дающих твердой надежды на благоприятный прогноз***.

С соответствующими доказательствами можно познакомиться, например, в известной работе В. Феллера (с. 92-96). Закон арксинуса открыл Леви (Р. Levy. Sur certains processus stochiastique hiomogene Compositio Mathiematica, 7, 1939, p. 283-339) для диффузионных процессов и указал на связь с игрой в орлянку. Общий закон арксинуса для числа положительных частных сумм был доказан Эрдос и Кац (Р. Erdos и М. Кас. On the number of positive sums of independent random variables Bulletin of the American Mathematical Society, 53,1947, p. 1011-1020). Комбинаторную природу закона и возможность его приложения к общим классам случайных величин открыл Спарре Андерсен (Е. Sparre Andersen).

Точнее говоря, тогда вообще трудно рассчитать, какими могут быть результаты.

Если игрок имеет право прекратить игру в благоприятный для него момент, то результат не может быть оценен с помощью предельных теорем и нормального приближения. Возможны разные варианты.

Практическое значение закона повторного логарифма в том, что при каких-то условиях у игрока с обычными финансовыми ресурсами существует шанс обойти вердикт вероятностных расчетов, обрекающий на результат, который усреднен с точки зрения статистики.

Как выше отмечалось, оборотная сторона этого закона в том, что наряду с выигрышем равным образом существует и возможность полной потери исходного капитала.

Если представить игру как противоборство трейдера , с одной стороны, и рьшка , с другой, то возникает явное неравноправие . Ведь игрок-рынок имеет неограниченный капитал, а финансовые ресурсы игрока-трейдера очень и очень далеки от бесконечности.

Но, как говорится, еще не все потеряно. Чтобы убедиться в этом, обратимся к некоторым интересным формам проявления закона повторного логарифма.

Первая теорема (закон) арксинуса: инерция тренда . Определенные надежды дает углубленный анализ конфигурации случайных движений, позволяющий получить более детальное представление о конкретных формах и периодичности распределения исходов*.

Рассмотрим биномиальные испытания, продолжительность которых г.

Оказывается, что, например, в модели с идеальной монетой даже бесконечный рост г может не привести к равновесию числа успехов и неудач .

Не обладая предварительными знаниями в этой области, трудно себе представить, что по мере возрастания величины г такое событие, как равномерное распределение исходов , становится исключительно маловероятным.

В этом, собственно говоря, и заключено содержание первой теоремы (или закона) арксинуса.

Рассмотрим ее более детально.

Если представить результаты испытаний в виде кривой случайного блуждания в пространственно-временном измерении (допустим, верхняя