Превосходное приближение обеспечивается уже при 20 испытаниях (В. Феллер. С. 95).

Пример взят из книги В. Феллера (с. 94).

половина - область успеха , а нижняя - неудач ), то более строгая с научной точки зрения формулировка звучит следующим образом: при фиксированной величине времени t(0<t<l)H числе испытаний (г), стремящемся к бесконечности, вероятность Р(к > г/2) того, что доля времени (к/г = t), которую точка блуждания проведет в верхней ( успешной ) половине графика, будет меньше t, и стремится к числу, определяемому по формуле:*

Р(к > г/2) = (Уз, 14) X arcsin(t)/2.

Выделим, в первую очередь, следующие три положения, вытекающие из данной теоремы, которые важны в практическом плане:

наименее вероятным является событие: доля времени, которую точка блуждания проведет на какой-то одной стороне (положительной или отрицательной), будет равна половине всего времени испытаний ;

наоборот, верным является то, что наибольшую вероятность имеет событие: будут иметь место крайние значения, т.е. при к, стремящемся к г или О ;

чем более продолжительными будут испытания, тем необратимее станет преимущество одного исхода над другим.

Согласно первому закону арксинуса, для серии испытаний г с идеальной монетой достижение баланса числа успехов и неудач - событие крайне маловероятное. Наиболее вероятный исход заключается в преимуществе какой-то одной стороны. И чем выше значение г, тем это преимущество может становиться все более устойчивым.

Парадоксальность первого закона арксинуса по праву считается удивительной. Проиллюстрируем это на примере 20 испытаний**, вновь воспользовавшись аналогией противостояние трейдер - рьшок .

Как мы видели, согласно рассматриваемому закону, наиболее вероятным сценарием развития этого противостояния будет то, что в результате конкретной серии испытаний какая-то одна из сторон окажется везунком , а другая - неудачником .

Если сделать более точные расчеты, то вероятность для неудачника добиться хотя бы ничьей ничтожна: 0,06. Это означает, в частности, что почти определенно (вероятность 0,94) по результатам 20 бросков должен определиться победитель в данной серии. И чем больше число испытаний, тем эта вероятность выше.

Можно рассчитать и другие варианты.

Например, с вероятностью 0,35 в течение всего периода испытаний неудачник (или менее удачливый игрок) никогда не будет в выигрыше. А если и выиграет, то с вероятностью 0,54 не более одного раза.

В этом смысле можно говорить о том, что данный закон устанавливает неизбежное возникновение тренда в результатах испытаний.

Эти результаты вполне приложимы и к событиям в дополнительном измерении.

Согласно первому закону арксинуса, показатели эффективности в дополнительном измерении будет изменяться по некоторому тренду.

Народное наблюдение по поводу того, что кто-то бился, колотился, а ничего не добился , - это, в известном смысле, иллюстрация первой теоремы арксинуса, с точки зрения неудачника . Естественно, для везунка все видится иначе: Иной Ивашка живет без промашки .

Таким образом, данная теорема позволяет, так сказать, воочию увидеть, в каком конкретном виде проявляет себя та или иная предрасположенность игрока, действующего в пространстве случайных событий.

Вопрос, который возникает в этой связи: как долго такой тренд удачливости (или неудачливости ) может продолжаться?

Для рассмотрения этого вопроса необходимо представить механизм возникновения тренда удачливости (или неудачливости ) в пространстве случайных событий.

В этих целях мы в следующем разделе обратимся к такому понятию, как инерция.

Теоремы о возвращении в начало координат: волна. Оценки возможной продолжительности тренда дают существующие теоремы о возвращении в начало координат. Они рассматривают смену времени удачливости периодом невезучести (и наоборот), что на графике движения выражается возвращением точки блуждания на нулевую отметку .

О периодичности повторных возвращений можно судить по частоте ничьих (н). Поскольку, как мы знаем, г должно быть четным числом, то удобнее было бы обозначать общее число испытаний как 2г (г = 2г, где г - это целое положительное число, не равное нулю: 1, 2, 3 и т.д.).

Здравый смысл подсказывает, что чем больше испытаний, тем больше должно быть возвращений в начало координат, т.е. ничьих (н).

Это верно. Но зависимость здесь не является прямо пропорциональной. И на этот счет у В. Феллера приводится доказательства двух важных теорем*.

Теорема 1. Основной является формула вероятности Р(н/2г) того, что точка вернется в начало координат н раз в течение периода испытаний 2г:

Р(н/2г) = С{г/(2г-н)} : 2<2 >.

Можно рассчитать, что для всех испытаний, продолжительностью 2т, справедливо неравенство:

Р(н = 0) = Р(н = 1) > Р(н = 2) >... > Р(н = 2г).

Если его проанализировать, можно сделать следующие выводы.

1. Р(н = 0) = Р(н = 1) означает, что наиболее вероятным исходом будет полное отсутствие (и = 0) либо только одно (и = 1) возвращение в начало координат.

2. Р(н = 1) > Р(н = 2) >... > Р(н = 2г) означает, что одно возвращение более вероятно, чем два (и = 2). Но, в свою очередь, это событие более вероятно, чем три возвращения и т.д.

Повышенная вероятность меньшего числа возвращений объясняется тем, что если уж точка отклонилась от нулевого уровня , то ей труднее вернуться обратно в начало координат, а тем более на противоположную сторону графика.

Таким образом, наиболее вероятными конфигурациями случайного блуждания являются тренд и полуволна (см. рисунок).

Тренд

Рисунок 9. Наиболее вероятные конфигурации случайного блуждания