E(q = р) = W X {1 - Q(z = 0)} - Z = W X (z/w) - z = 0.

Если вернуться к предыдущим примерам, то в примере 1 математическое ожидание результата будет иметь отрицательную величину:

E(w = 100) = -17,2.

В примере 2 ожидания результата еще хуже:

E(w = 100) = -76,6.

Вместе с тем, знание этих расчетов позволяет выбирать наименьшее зло . Таким образом, необходимо учитывать следующее важное правило:

если игрок находится в неблагоприятных условиях р < q и ставит задачу закончить игру либо после того, как выиграет сумму W, либо проиграет предельно допустимую сумму z, то никакие соотношения Q(-z) < P(w) не изменят негативного математического ожидания результата.

В биномиальных испытаниях негативное математическое ожидание выигрыша никак невозможно изменить в благоприятную сторону.

По выражению В. Феллера, это значит, что небезобидная игра (р < q) не может стать безобидной (р = q). Тем более ее нельзя сделать выигрышной (р > q).

Итак, никакие манипуляции с указанными переменными не позволяют рассчитывать на положительное значение математического ожидания. Хуже того, недостижимым является даже ноль.

Таким образом, порядок применения рационального способа управления случаем может быть следующим:

для заданного соотношения р и q проводится расчет конкретного варианта соотношения величин w и z, при котором достигается максимальное математическое ожидание ( наименьшее зло ).

При рациональном подходе следует для заданных р и q выбирать такие соотношения переменных w и z, которые обеспечивают наилучшее математическое ожидание.

Однако напомним, что речь идет о математическом ожидании результата при условии бесконечного числа испытаний.

В этой связи полезно рассмотреть оценки средней продолжительности игры, при которой, согласно теории вероятностей, могут быть достигнуты

заранее установленные цели. И данный параметр продолжительности также следует принимать во внимание в процессе управления.

Средняя продолжительность игры. Приведем без вывода основные формулы оценки средней продолжительности игры для разных соотношений р и q*.

1. Для случая, когда q не равно р (р > q или р < q) и при размере исходного капитала z, а цели w (в каждой игре ставка составляет одну условную единицу ), решение уравнения приводит к формуле:

D(z/w) = z/(q-p)-{w/(q-p)}x

x[l-(q/p)4 : [l-(q/p)-]}.

Вернемся к приведенному выше примеру 2, в котором существует положение невыгодной игры при q = 0,55 и р = 0,45 (z = 90, w = 100 условных единиц ).

Мы уже видели, что если при каждом испытании ставка будет равной одной условной единице , то вероятность разорения Q(z) = 0,866. Тогда вероятность выигрыша P(z) = 0,134.

По формуле расчета средней продолжительности игры получим, что ее математическое ожидание при этом составит:

D(z/w) = 767 испытаний.

Однако если увеличить ставку до максимальной, сделав ее равной 10 условным единицам , то соответственно получим:

Q(z) = 0,210, а P(z) = 0,790.

И математическое ожидание продолжительности игры: D(z/w) = 11 испытаний.

Соответствующее правило можно сформулировать так:

чем меньше математическое ожидание продолжительности игры, тем вероятность выигрыша при невыгодном соотношении q > р становится все более благоприятной.

Чем меньше ожидаемая продолжительность невыгодной игры, тем лучше.

Этот расчет отвечает закону больших чисел: чем больше число испытаний, тем ближе будут результаты к математическому ожиданию вероятности успеха .

* Делитель 300 появился в силу того, что это число является новой единицей условного капитала.

2. Для q = р действительна другая формула, которая имеет вид:

D(z/w) = ZX (w- z).

Сразу отметим, что средняя продолжительность игры оказывается значительно выше, чем это подсказывает нам здравый смысл .

Так, если q = р, то при исходном капитале z = 90 условных единиц и желании игрока довести эту сумму до w = 100:

D(z = 90 / W = 100) = 90 X 10 = 900.

Заметим, что при ставке в 10 условных единиц вероятность успеха весьма высока:

P(z = 90 / W = 100) = 90 / 100 = 0,9.

Однако потребуется немало времени, чтобы получить тот или иной результат (разорение или чистый выигрыш в 10 единиц).

Даже если игрок ставит столь скромную задачу, как окончательный выигрыш всего одной условной единицы (w = z -и 1), то продолжительность игры при капитале z = 90:

D(z = 90 / W = 91) = 90 X 1 = 90.

При этом вероятность успеха предельно благоприятна:

P(z = 90 / W = 91) = 90 / 91 = 0,99.

Обратим внимание на то обстоятельство, что, несмотря на высокую вероятность выигрыша, предстоит долгая борьба (в среднем 90 испытаний). И это для того, чтобы получить выигрыш, равный всего одной единице капитала.

Однако утешает то, что условная единица капитала может составить значительную сумму живых денег. Правда, тогда придется задействовать начальный капитал, который в 90 раз больше выигрыша.

Как видим, невозможно заранее задать наиболее выгодный путь: многое зависит от разных обстоятельств.

Вернемся к приведенному выше примеру 3, но в качестве одной условной единицы примем $300.

Тогда случайная величина D(w/z) с учетом новой единицы вычисляется по формуле:

D(w/z) = (Z / 300) X (w - z) / 300*.