Поскольку при таком соотношении прямое приложение решений задачи о разорении невозможно, мы приведем эти условия к соответствующему эквиваленту, который будет применим. Для этого необходимо рассчитать новые значения dSP = dSL и соответствующие величины вероятностей р и q, которые давали бы те же оценки математического ожидания, что и для исходных условий dSP и dSL.

Последовательно сделаем это следующим образом.

1) Расчет q и р для заданного соотношения dSP < dSL:

р = (dSL - spread) : (dSP + dSL),

q = 1 - p = (dSP + Spread) : (dSP + dSL).

2) Оценка математического ожидания для dSP < dSL:

E = p X dSP - q x dSL.

3) Расчет эквивалентных значений dSP = dSL, которые давали бы то же значение математического ожидания:

р х dSP - q х dSL = р х dSP - q х dSL.

Это уравнение можно представить как два:

р X dSP = р X dSP и q х dSL = р X dSP.

Кроме того, естественно, должно выполняться условие: р +q=l.

В результате решения этих уравнений, где в качестве неизвестных выступают р, q и dSP = dSL, ползшим формулы определения необходимьгх эквивалентных значений:

р=А/(А + 1),

q = l-p=l/(A+l),

dSP = dSL = (р X dSP) / р = (q X dSL) / q ,

где под коэффициентом А обозначено выражение: А = (р/ q) X (dSP/ dSL).

Здесь dSP = dSL представляют собой единицу условного капитала , который выигрывается или проигрывается в каждом испытании, соответственно, с вероятностью р и q. Именно эти значения мы и будем использовать, чтобы получить необходимые оценки по задаче о разорении при различных соотношениях dSP и dSL.

Рассмотрим ситуацию, когда dSP < dSL, которая, как мы знаем, дает благоприятную вероятность исхода при каждом испытании. Однако из-за боль-

шего значения стоп-ордера по убытку математическое ожидание выигрыша все равно остается негативным.

Пример Г. Двукратное соотношение в пользу убытка dSP/dSL = 30/60.

При spread = 5 получаем благоприятные вероятности исхода в каждом испытании: р = 0,61 и q = 0,39.

Математическое ожидание результата:

0,61x30-0,39x60 = -5,1,

что примерно соответствует соотношению dSP/dSL = 30/30, где было -4,8. Эквивалентные значения, пригодные для расчета по задаче о разорении:

р = А/(А + 1) = 3/7 = 0,44,

q = 1 - р = 1 / (А + 1) = 4/7 = 0,56.

Эти значения несколько лучше, чем для dSP/dSL = 30/30, где было р = 0,42 и q = 0,58 (для spread = 5).

В качестве эквивалентной единицы условного капитала имеем:

dSP = dSL = (pxdSP) /р =

= (q X dSL) / q = 42 базисных пункта.

Тем самым, мы приходим к тому, что эквивалентом условия dSP/dSL = 30/60 являются испытания с вероятностями р и q и одинаковым размером проигранной или выигранной единицы условного капитала , равной 42 базисным пунктам. Это позволяет рассчитать вероятность разорения и среднюю продолжительность игры для различных вариантов цели w и начального капитала г.

Но, как мы уже знаем, наиболее выгодный путь - максимальная ставка при минимальной цели. Если вновь принять z = 300 базисных пунктов ($3000 при стоимости пункта в $10), то:

Z = 300 / 42 = примерно 7 условных единиц , W = 7 + 1 = 8.

Вероятность разорения:

Q(z = 0) = 0,25. Вероятность победного выигрыша:

P(w = 8) = 0,75. Математическое ожидание результата:

E(w = 8) = 8 X 0,75 - 7 = -1,0 условная единица .

Средняя продолжительность игры: D(z/w) = 8 испытаний.

Пример Д. Двукратное соотношение в пользу прибыли dSP/dSL = 60/30.

При spread = 5 получаем благоприятные вероятности исхода в каждом испытании: р = 0,28 и q = 0,72.

Эквивалентные значения, пригодные для расчета по задаче о разорении:

Р = 0,44,

q = 1 - р = 0,56,

dSP = dSL=(pxdSP)/p =

= (q X dSL) / q = 38 базисных пунктов, z = 300 / 38 = примерно 8 условных единиц , W = 8 + 1 = 9.

Вероятность разорения:

Q(z = 0) = 0,25. Вероятность победного выигрыша:

P(w = 8) = 0,75. Математическое ожидание результата:

E(w = 9) = 9 X 0,75 - 8 = -1,25 условной единицы . Средняя продолжительность игры:

D(z/w) = 8 испытаний.

Варьируя соотношение dSP и dSL в пределах двукратного превышения одной составляющей над другой, мы получаем примерно те же оценки вероятности разорения, математического ожидания и продолжительности игры, что были получены при условии dSP = dSL.

Можно проверить, что и десятикратные соотношения (dSP/dSL = 30/ /300 или dSP/dSL = 300/30) принципиальных изменений в эту картину не вносят.

В итоге мы приходим к следующему заключению:

пи один из вариантов данного соотношения (dSP = dSL, dSP > > dSL или dSP < dSL) не позволяет получить ощутимых преимуществ пи с точки зрения оценки вероятности разорения (победного выигрыша), пи по расчету математического ожидания, пи с учетом средней продолжительности игры.