i = l

при ограничении

г = 1

Запишем вспомогательную функцию Лагранжа

FiS) = Q{S) + ФСЦЗ) = iV + ФЕ

i = l i = l

Дифференцируя ее по Sj , получаем условия откуда

4i =--]-= -, 11.1.6

Яг 1П Qi (Ji

где Qi имеет прежнее значение. Теперь

ln(0Q-/<?/) In V , Hfi/qi) , ,

Si - - - - I - . (i i. i. / j

In qi In qi In qi

Подставим результат в уравнение связи:

Ci Ci\u{ai/qi)

Поскольку, вообще говоря, получаются нецелые значения {.s} , требуется перебор 2 точек - с округлением координат в меньшую и большую стороны. Из них исключаются точки с недопустимым коэффициентом ненадежности, а из оставшихся выбирается связанная с минимальными затратами. Подчеркнем, что истинно оптимальной точки среди полученных округлением кoofЗдинaт может и не оказаться. Это относится ко всем решениям целочисленных задач, отыскиваемым округлением вещественных решений.

Сформулируем теперь обратную задачу оптимального резервирования. Будем искать

Оно преобразуется в

-\nфY ai - ] ai \n{ailqi) - Со,

откуда

In 0 = - г а, ln(ai/gi) + Со ) / Е

Подставив результат в (11.1.7), находим

\ \( \ I ( \ 1

Si =

(11.1.8)

К этому решению можно сделать замечания, аналогичные предыдущему случаю.

11.1.2. Основная расчетная схема

Метод состоит в последовательном наращивании решения и позволяет решать как прямую, так и обратную задачу (разница заключается только в критерии завершения).

Определим результирующий показатель надежности

R = l[Ri

г = 1

И будем на очередном шаге увеличивать запас по той г* -й подсистеме, для которой достигается максимум относительного удельного приращения

CiRi(Si)

Процесс решения прямой задачи останавливается, когда достигнута требуемая надежность. При решении обратной задачи после каждого увеличения запаса корректируется остаток ресурса z = z -Ci* , и очередное приращение выбирается только на множестве номенклатур i{z) , для которых Ci < Z . Процесс завершается, когда i{z) оказывается пустым.

На заключительных шагах, когда достигнутая надежность достаточно высока [Ri 1), вместо (11.1.9) применяется отношение

Qiisi) - Qi{si-\-1) Qi(si)

CiRiisi)

(11.1.10)

11.1.3. Ограничения и обобщения метода

Описанный метод (максимума удельных приращений) не гарантирует получение строго оптимального решения, поскольку остановка процесса возможна при положительном остатке z . В таких случаях можно вернуться назад на один шаг, выбрать приращение по другой допустимой позиции (с меньшим значением Ci ) и продолжить процесс. Перебор вариантов существенно увеличивает трудоемкость алгоритма, в особенности если начать ветвление с отката на большее число шагов. Свертка последних шагов может быть реализована методом динамического программирования.

Может оказаться, что в прямой задаче достижения заданной надежности в результате последнего шага требуемый показатель был превышен. В этом случае можно получить более дешевое решение задачи: выбрать из тех позиций, по которым

R(S)[Qi(si) - Qiisi -f l)]/Ri{si) > Ro

Qi{si)-Qi(si + l) -ад--

имеющую минимальное значение с, . Здесь также возможен многошаговый откат.

Большое число шагов, необходимое для получения решения, порождает желание начать процесс с достаточно близкой к решению точки. Рассмотрим сначала прямую задачу - достижение надежности Rq при минимальных затратах. Будем считать, что

Qo x]Qi(5i) 1.

С другой стороны, все относительные приращения

7,: и

независимо от i, т.е. достаточно близки друг к другу (по абсолютной величине). Тогда

лг N

Qo = xQi(50wCi

г=1 i=l