Тел.факс: +7(831)437-66-01
Факторинг  Теория очередей и материальные запасы 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 [ 18 ] 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123

3.1. Основные понятия теории рнспределений 65

интервала [х,х -f Лх] , приближенно равна f(x)Ax . Функция распределения (ФР)

F{x.) ?v{k < х]

для дискретных распределений определяется суммированием соответствующих вероятностей, а для непрерывных - интегрированием плотности. Соответственно вероятность конкретного значения в дискретном случае вычисляется как разность смежных значений ФР. а в непрерывном плотность распределения - дифференцированиег\л ФР.

Почти все используемые в данной книге распределения определены на полуоси [О, ос) или множестве натуральных чисел. Это обстоятельство в дальнейшем дополнительно не оговаривается.

Практические проблемы теории очередей и управления запасами обычно связываются с достижением высоких вероятностей своевременного решения задачи (обеспечения спроса), мало чувствительных к изменению параметров В таких случаях удобнее работать с дополнительными функциями распределения (ДФР)

FTii) = Pr{T>t}.

Индекс имени случайной величины там, где это не ведет к неоднозначности, мы будем опускать.

3.1.2. Числовые характеристики

Для сравнения распределений удобно пользоваться их числовыми характеристиками. Квантилью q случайной величины по вероятности р называется решение уравнения F{q) -р . Практически используются квантили по вероятности 0.5 (медиана), 0.25 и 0.75 (квартили), реже - децили.

Начальный момент к -го порядка непрерывной случайной величины

= j xf{x)dx, к =1,2,...

Это же понятие для дискретной случайной величины определяется через взвешенное суммирование вероятностей. Для экономии места мы будем



Особую роль играет первый момент xi , называемый математическим ожиданием. Его статистическим аналогом является среднее значение случайной величины.

В процессах обслуживания важную роль играет распределение остатка обслуживания при равномерном выборе контрольной точки на интервале его случайной длительности. Моменты остаточного распределения {б/с} выражаются через моменты исходного {bk} согласно

= 7ГТ1ТГ = 12,... (3.1.1) (A;-fl)6i

В частности,

6, = . (3.1.2)

иентральные моменты вычисляются относительно математического ожидания:

х1 = 1{х-х,)ЧР{х),

Второй центральный момент X2 = D называется дисперсией распределения и служит мерой разброса случайной величины относительно ее среднего значения. В тех же целях используются среднеквадратическое отклонение а = \[В , размерность которого совпадает с размерностью случайной величины, а также безразмерный относительный показатель V - (j/xi - коэффициент вариации. Обозначения М[] и D[] ниже будут использоваться как операторы вычисления математического ожидания и дисперсии соответственно.

3.1.3. Показательное распределение

Показательным (экспоненциальным) называется распределение с плотностью вида

т=це-\ (3.1.3)

записывать аналогичные выражения с помощью интеграла Стилтьеса, объединяющего дискретный и непрерывный случаи:



3.2. Аппроксимация распределений 67

дополнительной функцией распределения

F{i) = e- (3.1.4)

и начальными моментами

fi = i\/fi\ г = 1,2,... (3.1.5)

Для определенности обсудим процесс обслуживания. Условная плотность распределения длительности остатка обслуживания, которое продолжается уже в течение т , описывается формулой

F{t) e-f

независимо от уже истекшей длительности обслуживания (!!!). Говорят, что показательное распределение обладает марковским свойством - отсутствием последействия (памяти). Параметр потока обслуживании с функцией распределения B(t)

B{t)At В[т)

в случае показательно распределенной длительности равен и не зависит от уже истекшего времени т . Соответственно вероятность завершения обслуживания на малом интервале длины А/

Рге{,/ 4- А} = /iA + о(А/)

не зависит от положения этого интервала на оси времени.

Отмеченные уникальные свойства показательного распределения делают его исключительно удобным в аналитических выкладках, связанных с описанием процессов обслуживания.

3.2. Аппроксимация распределений

Выравнивание статистических распределений, т.е. подбор теоретических зависимостей, описывающих фактически наблюдавшиеся данные, обычно проводится при условии сохранения значений интегральных числовых характеристик распределений, аккумулирующих его основные свойства. В качестве таких характеристик чаще всего выступают начальные моменты. Как отмечается в [23, с.127],



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 [ 18 ] 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123