3.6.2. Число событий на фиксированном интервале

Известно, что интервалы между требованиями стационарного ординарного потока без последействия (простейшего потока) подчиняются показательному распределению. Его параметр Л = l/oi . где ai = а ~-средний интервал между требованиями.

Для подсчета распределения числа требований простейшего потока за время t выполним свертку показательных распределений. Их свертка к-го порядка есть распределение Эрланга того же порядка (см. разд. 3.3.1). Вероятность появления на интервале длины / ровно А* заявок равна FkJi{t) - Fk(t) . Подставляя в это выражение формулу (3.3.2), убеждаемся, что вероятность прихода за [О,/) ровно А; требований

,(/) = Ме-, к = 0,1,... (3.6.2)

Эта формула задает распределение Пуассона с параметром Л/ , отчего простейший поток называют также пуассоновскпм.

В теории массового обслуживания простейший поток занимает особое место по следующим причинам:

1) Сумма конечного числа независимых простейших потоков образует простейший поток с интенсивностью, равной сумме интенсивностей составляющих.

2) Сумма п независимых стационарных потоков с ограниченным последействием при условии малой интенсивности составляющих в сравнении с суммарной интенсивностью при ?7 ос сходится к простейшему потоку.

3) Случайное прореживание произвольного стационарного ординарного потока с ограниченным последействием, т.е. выбрасывание каждого очередного требования независимо с некоторой вероятностью, при увеличении вероятности выбрасывания приближает поток к простейшему,

4) Вероятность наступления события простейшего (и только простейшего) потока на малом интервале длины At пропорциональна длине этого интервала и не зависит от его положения на оси времени, что дает колоссальные расчетные преимущества.

Наряду с простейшим потоком часто рассматривают так называемый примитивный поток, связанный с понятием о замкнутых системах

массового обслуживания. В таких системах имеется конечное число R источников заявок, причем суммарное количество действующих источников и необслуженных заявок постоянно. Если в системе находится к заявок, то входящий поток считается простейшим с мгновенной интенсивностью \(Я - к) , где Л - интенсивность простейшего потока в расчете на один источник. При к = R поток заявок прерывается.

3.6.3. Число событий на случайном интервале

Пусть Л - параметр входящего потока. Тогда вероятность появления ровно / событий потока за случайное время, подчиненное распределению B{t) , равна

i = o,i,...

(3.6,3)

Указанные вероятности играют важную роль в расчете сложных СМО, и необходимо уметь эффективно их вычислять для возможно более широкого круга распределений. Специальный интерес вызывает вероятность 0 , которая может рассматриваться как ПЛС от распределения B(i) с параметром Л .

При равномерном распределении случайного времени на отрезке [а - /, а -f /] искомые вероятности

г!

, J = 0,1,..

В частности,

Если t распределено на отрезке [а - /, а -f /] по треугольному закону,

-Л(а-/)

J + 1

-(а + /)

[4a + l)]\.xia+i)

+ 2

2=0

А i!

i = o,i,...

Начальный коэффициент 1

90 =

(Л/)2 [

Для гамма-распределения с параметром формы г

Г(г)

i!r(r)y

= fVfVnili) ,-0 1

va+z.; j\T(r)

(3.6.4)

Получим рекуррентные формулы вычисления {qj} при времени обслуживания, подчиненном гамма-распределению. Прежде всего, из (3.6.4) следует qo = (/i/(A -\- р)У . Далее,

А r(r + i).(i-l)! Л r + j-1

Итак, при гамма-распределении

go =

A + /i

(3.6.5)