Частным случаем гамма-распределения при г = 1 является показательное распределение. При этом

Наконец, для гамма-плотности с поправочным многочленом, записываемой аналогично формуле (3.3.17) для ДФР Вейбулла, искомые вероятности

, ( У( А У 1 f ff.- r(a + i + 0

(3.6.7)

Расчет {qj} и здесь может быть организован рекуррентно, но по более сложной схеме.

3.6.4. Случайное прореживание потоков

Пусть в рекуррентном входящем потоке с ПЛС интервалов между заявками a{s) каждая заявка сохраняется в потоке с вероятностью z независимо от остальных заявок. Тогда для просеянного потока ПЛС распределения интервалов между заявками

(3.6.8)

(3.6.9)

Моменты результирующего распределения

fi = ai/z,

k-l . ч

л = [a,-Ь{l-z)J2[i]fгak-г]/z, к = 23... В частности,

/2 = [a2 + 2(l-r)/iai]/. Второй коэффициент немарковости 2 Для просеянного потока

iP = zi\ (3.6.10)

При z О коэффициент немарковости стремится к нулю, т.е. результирующий поток сходится к простейшему. Простейший поток при случайном прореживании остается простейшим - меняется только его интенсивность.

3.6.5. Регулярное прореживание потоков

Справедливое (циклическое) распределение поступающих заявок между 77 обслуживающими устройствами порождает для каждого из них поток с регулярным прореживанием (остается ?г-я заявка исходного потока). Соответственно распределение интервалов между заявками оказывается т?-кратной сверткой исходного распределения, а его ПЛС - /1-й степенью исходного.

Получить моменты просеянного таким образом потока можно последовательной сверткой в моментах или численным дифференцированием упомянутой ПЛС в нуле. Однако зависимость ч2( ) можно вывести из элементарных соображений. Поскольку средние и дисперсии интервалов между оставшимися заявками суммируются, а второй момент равен квадрату первого плюс дисперсия, имеем

Ып) = [/2(n) + Z)(n)] 2(n)-2!

= nd/{na)- + 1 - 2 = [d/a\)ln - 1 = ь/п - 1.

Здесь V -коэффициент вариации исходного распределения. Очевидно, предел lim tco 2( ) ~ и. совпадает со значением 2 Для вырожденного распределения, так что регулярно просеиваемый поток в указанных условиях приближается к детерминированному.

3.6.6. Суммирование потоков

Рассмотрим предложенную в [70] методику суммирования двух рекуррентных потоков. Смысл операции суммирования иллюстрирует рис. 3.5.

Е XXX-

-X-> t

-> t

Рис. 3.5. Схема суммирования потоков

Момент появления очередной заявки суммарного потока - это минимум из моментов появления ближайших заявок составляющих. Если предыдущей была заявка первого потока, то распределение времени ожидания

3.7. Процесс обслуживания 85

заявки второго заменяется на соответствующее остаточное распределение, и наоборот. Частота выбора вариантов определяется удельным весом заявок каждого типа в суммарном потоке, т.е. отношениями {Л/Л} . Итак, ДФР интервалов между заявками суммарного потока

A(t) = A,(t)AUt) + A,{t)Al{t). (3.6.11)

Эта формула особенно легко реализуется при гиперэкспоненциальной аппроксимации составляющих распределений, для которых случайная модификация также дает гиперэкспоненту. Перепишем выражение для моментов распределения в виде

со оо

= I tf{t)dt = k I t-F(t)dt.

Теперь составляющие моментов распределения с ДФР типа (3.3.4) могут быть вычислены согласно

сю /2 \ / 2 \

= ki:yij:ujjt-e()4t = j: j:y,k\i[p,-v\jf.

2=1 j=l о i=lj=l

(3.6.12)

Последовательное суммирование любого числа потоков можно выполнить, аппроксимируя Я2-законами распределения интервалов суммарного потока и очередного слагаемого. При большом числе слагаемых имеет смысл организовать суммирование по схеме двоичного дерева.

3.7. Процесс обслуживания

Системы обслуживания по числу установленных устройств делятся на одно- и многоканальные. Количество требований, одновременно могущих находиться на обслуживании, не превышает числа каналов п. При очень большом числе каналов можно считать п = оо . Каналы могут быть однородными, специализированными по типам заявок, различающимися интенсивностью обслуживания и т.п.