= [п к = п,п+1,... --1

(интенсивность обслуживания ограничивается числом каналов).

3.8. Организация и продвижение очереди

Заявки, пришедшие в занятую систему, не могут быть обслужены немедленно и образуют очередь. Очередь может быть ограничена максимальной длиной R или максимальным временем W пребывания в ней. Примером задачи с временным ограничением является прибытие на стройку самосвала с бетонной смесью. При нарушении ограничения заявка получает отказ. Введение ограничения автоматически исключает очень большие задержки, но связано с дополнительными штрафами за отказ в обслуживании.

Вновь прибывшая заявка в зависимости от организации и назначения системы становится либо в конец очереди (дисциплина FCFS: First Come- First Served), либо в ее начало (LCFS: Last Come - First Served). Последний вариант иначе называется стековым ( магазинным ) принципом.

При неоднородных заявках может вводиться приоритетное обслуживание. В этом случае заявки выстраиваются в несколько очередей, и в освободившийся канал поступает заявка из непустой очереди с наивысшим приоритетом. В некоторых ситуациях (абсолютный приоритет)

В случае показательного распределения нетрудно найти вероятность окончания хотя бы одного обслуживания для многоканальной системы. Пусть обслуживанием заняты к каналов. Тогда каждый из них за малый интервал длины закончит обслуживание с вероятностью pAt -f o{At) . По определению, параметр потока обслуживании

1 - (I - fiAt) + o(Ai) kpAt-o{At) J fjik lim---rj---- = hm ---- = к/2,

At-O At At--yO At

a вероятность обслуживания за двух и более заявок имеет порядок o{At) . Таким образом, в многоканальной системе при экспоненциально распределенной длительности обслуживания поток окончаний обслуживания при нахождении в каналах к требований является ординарным, а его параметр

3.10. Показатели эффективности 87

срочная заявка может прервать уже начатое обслуживание. Снятая заявка поступает в одну из очередей или теряется. Примером заявки с абсолютным приоритетом является поломка обслуживающего устройства. Обслуживание подобной заявки состоит в отыскании и устранении неисправности. Поток поломок каналов обслуживания формируется замкнутым источником заявок, что не позволяет рассчитывать подобные СМО простой сменой интерпретации заявок с наивысшим абсолютным приоритетом.

3.9. Классификация и обозначение систем массового обслуживания

Для сокращенного наименования абстрактных СМО Д. Кендалл предложил использовать обозначения вида A/B/n/R, где А указывает распределение интервалов между требованиями, В - распределение времени обслуживания, п - число каналов, R - предельное число заявок в очереди или в системе (последний вариант удобнее). Типы распределений обозначаются следующим образом:

М - показательное (с марковским свойством); Ег - эрланговское порядка г ;

D - детерминированное (постоянное время обслуживания или регулярный поток);

Hk - гиперэкспоненциальное с к составляющими;

G - произвольное распределение.

При R оо четвертую позицию принято опускать. Таким образом, запись вида M/G/1 означает одноканальную СМО с простейшим входящим потоком, произвольным (точнее, не конкретизируемым) распределением времени обслуживания и неограниченной очередью.

3.10. Показатели эффективности

Перечень показателей. Показатели эффективности процессов обслуживания обычно устанавливаются для стационарного (предельного при -> оо) режима. Их можно разделить на две группы - счетные

и временные. Счетные показатели связаны со стационарным распределением {pj} числа заявок в системе или финальным распределением {iTj} числа заявок перед прибытием очередной заявки (эти распределения, вообще говоря, не совпадают). К счетным показателям относятся:

1) сами упомянутые распределения (в частности, они нужны для расчета емкости буферных накопителей из условия размещения очереди с вероятностью не менее заданной);

2) вероятность тгд отказа в приеме заявки на обслуживание;

3) вероятность нулевого ожидания По - ttj ;

4) среднее число заявок в системе L - jpj ;

5) среднее число заявок в очереди q - U ~ )Pj I

j=n + l n-l

6) среднее число свободных каналов f - ( - j)pj I

7) среднее число занятых каналов z - п - f .

Из временных показателей наиболее существенны:

1) ДФР V[i) времени пребывания заявки в системе;

2) ДФР времени виртуального (ненулевого) ожидания;

3) моменты названных распределений;

4) распределение и моменты длительности непрерывной занятости системы.

Оперативность системы оценивают по характеристикам распределения времени пребывания. Характеристики ожидания и, в частности, его средняя длительность отражают цену, которую клиент должен заплатить за совместное с другими клиентами (заявками) использование обслуживающей системы.

Имея распределения числа заявок в системе, можно получить большинство интересующих исследователя временных характеристик с помощью принципа сохранения стационарной очереди (см. с. 90).

Показатель пропускной способности системы - интенсивность потока обслуженных заявок - имеет смысл определять для замкнутых