Целесообразно выполнить итерации для умеренного значения , после чего проверить выполнение условия (3.14.12).

Упомянутое условие указывает естественный путь задания начального приближения: = too Рассмотрим способ нахождения такого приближения. Будем обозначать предельные при j -)- оо матрицы, векторы и отношения смежных вероятностей прежними символами, но без индексов. Если существует tc rz / , то существуют и предельные значения отношений смежных вероятностей х \л z = 1/х, причем из (3.14.5) следует

x = tAln/tBln (3.14.13)

и стационарные вероятности состояний с большими индексами образуют геометрическую прогрессию.

Расчеты свидетельствуют о хорошей аппроксимации х формулой

j,:=,pV{vM) (3.14.14)

Полагая х известным, как следствие (3.14.6) имеем предельное равенство

t = (х-НА + xtB)(D - С)- = t[x-A -f xB){D - С) = Q,

Q = {x-A-xB)(D-C)-\

Обозначим {Q - I)i матрицу, полученную \лз Q - I заменой ее первой строки на единичную, и положим Si = {1, О, О,..., 0} . Тогда искомый вектор получается как решение системы линейных алгебраических уравнений

t(Q- I)i =5i. (3.14.15)

В качестве начальных приближений к векторам {tj] в ходе описанных выше итераций, охватывающих все ярусы диаграммы, для j > п следует воспользоваться решением (3.14.15) при значении х , найденном по формуле (3.14.14). На вышележащих ярусах можно принять все состояния равновероятными. Опыт расчетов свидетельствует о слабом влиянии выбора начальных приближений (в рамках рассмотренных подходов) на требуемое число итераций.

После прекращения итераций можно переходить к нахождению абсолютных значений вероятностей. Прежде всего отметим, что из определения чисел {xj] следуют равенства

p,=pjxj, (3.14.16)

Подставив их в условие (3.11.2) баланса прибытия и ухода заявок

п-1 j = 0

получаем формулу для вероятности свободного состояния системы

4- E( -i) П

j=l i=0

Последующие вероятности для j - 1,N определяются рекуррентно с помощью (3.14.16). При необходимости та же формула может быть применена для больших значений j с использованием Xj - Хсо

Итерационный метод применим и для расчета замкнутых систем.

3.14.4. Метод матрично-геометрической прогрессии

Для расчета фазовых систем обслуживания весьма эффективен предложенный Ивэнсом [137] метод матрично-геометрической прогрессии. Идея его заключается в представлении векторов вероятностей микросостояний полностью занятой системы соотношением типа

7- =7,Л- , j = 7i,n-f 1,..., (3.14.18)

где R - матричный знаменатель прогрессии. Выпишем одно из уравнений системы (3.14.1) для j > п, опуская индексы у стабилизировавшихся к этому ярусу матриц переходов:

tjD = 7., H + -jj+.B + -jjC. (.3.14.19)

Подставив выражения векторов вероятностей состояний из (3.14.18), можно переписать (3.14.19) в виде

fj-iR(D-C)=ij iA + fj iR-B,

IjiDj-Cj) = 7j-iA- i-f 7>iBj.i, j=l,n-l, 7n(D -Cn) = 7n-in-i-f 7пЯЯп+1.

(3.14.21)

Практически эту систему перед решением необходимо расписать по компонентам упомянутых в ней векторов. Решение может быть проведено как прямым методом типа гауссова исключения, так и методом итераций. Последующие векторы вероятностей определяются на основе (3.14.18) рекуррентно - домножением предыдущего вектора на R.

Основная проблема реализации матричного метода заключается в определении знаменателя прогрессии R. Уравнение вида (3.14.20) может быть решено лишь численными методами. Наилучшим решением вопроса оказалось вычисление поправок к знаменателю прогрессии в линейном приближении. Для упрощения обозначений перепишем (3.14.20) с учетом равенства С = О (при гиперэкспоненциальном обслуживании переходы между микросостояниями в пределах яруса отсутствуют - см. рис. 3.9) и определим поправку А из условия

(Л -f А)(Л -h А)В - (Л -h A)D -f Л = 0.

Пренебрегая членом, содержащим квадрат поправки, имеем

RB -I- ARB + RAB -RD-AD + ЛО,

A{RB - D) + RAB RD- RB - A. Последнее уравнение приводится к виду

AF + RAB = G (3.14.22)

откуда следует, что искомый знаменатель прогрессии должен удовлетворять матричному квадратному уравнению

RB R{D-C)-bA = 0. (3.14.20)

При известном Я векторы {7j} , j = 0,n, находим решением системы уравнений глобального баланса для микросостояний соответствующих ярусов, дополненной условием баланса заявок: