Рис. 5.1. Динамика запаса при детерминированном спросе получаем для затрат за цикл выражение

Lt = д-\- h I y{t)dt-d j y{t)dt,

о ti+t2

где g - фиксированные расходы, связанные с запуском производства (организацией поставки). Очевидно, что текущий запас

{{fi- \)t при 0<t <ti,

S-Xit- ii) при ti<t<ti+t2-\- ts,

5 -f (/i - X){t - 1 - 2 - ts) при ti-j-t2-\-t3<i<T.

Основания треугольников на рис. 5.1 равны высоте, умноженной на [l/(/i - А) + 1/Л] = /i/(A(/i - А)) . Соответственно

T={S-s)

A(Ai-A)

откуда

(5.1.1)

Импульс положительного запаса (площадь треугольника) равен

1 .у

2 \р- X X

Аналогично выражается импульс отрицательного запаса. С учетом (5.1.1) затраты за цикл составят

2X{/i-X) 2Х{р-Х)

-{p-X)T-S Р

а в единицу времени

ь = +

hiS-

Т 1Т\{ц-\) 2тл( ,-л)

- а)т - S

[d+h)nS

2\{ц - л) J 2ц

Найдем частные производные от L по 5 и Т и приравняем их нулю:

дЬ {d + h)fiS

dS ~ Х{ц - Х)Т

-d = 0,

{d + h)iS-

2а( - л) .

= 0.

Совместное решение этих уравнений дает для оптимальных 5 и Г условия

5* =

Т* =

l2Xg(l -

h(l + h/d)

l2gil + h/d) ХН{\-Х/цУ

При этом достигается минимум затрат в единицу времени

2ХдЦ\-Х1ц) l + h/d

Момент запуска производства определяется достижением дефицита

1 2\д\-\/р

5* = --1

г/у S i-\-h/d:

5.1.2. Предельные варианты

Из полученных соотношений как частные случаи легко выводятся более известные формулы теории запасов. При высоком штрафе можно принять h/d О.Тогца

г = y/2Xgh{l-X/fi), (5.1.4)

а недостачи полностью исключаются. Другой частный случай соответствует очень высокой интенсивности восполнения запаса (например, при поставке всей партии с вышестоящего склада). В этой модели л / -> О и

Наибольшее применение получили форлгулы Уилсона, выведенные при обоих рассмотренных допущениях:

S* = 2Xg/h, (5.1.8)

т* = /2Щ. (5.1.9)

г = y/2Xgh. (5.1.10)

Помимо рассмотренных выше показателей, представляют интерес еще два - объем заказываемой партии q и точка заказа s при задержке т