для нахождения оптимального уровня запаса получаем уравнение

FiS) = (5,6.2)

где F{) - интегральная функция распределения спроса за время Т.

Приведем несколько конкретизации этого результата для частных видов распределения спроса. Для показательного закона формула (5.6.2) сводится к

l-exp(-s7)=,

так что

S*=xlnf. (5.6.3)

д -- с

Здесь X = XT - средний спрос за период. Для распределения Релея имеем

l-exp[-5V(2M2)] =

му же, очень дорого может обойтись простой оборудования в ожидании поставки. Наконец, к этому классу относятся проблемы снабжения объектов с сезонным завозом (арктические, антарктические и высокогорные гляциологические и метеорологические станции, маяки) и разовая закупка топлива на отопительный сезон при недостоверном прогнозе погоды.

Оптимальные решения. При подсчете затрат по состоянию запаса к концу периода целевая функция

5 оо

Ь{у) =hJ{S- x)f{x) dx-\-dJ{x- S)f(x) dx + c{S - z). (5.6.1)

Из условия

S оо

g = hj f{x)dx-dj f{x)dx + c 0 s

= ftF(5) - d[l - + с = 0

Наконец, для распределения Вейбулла из уравнения получаем

S*:=.(w\n] . (5.6.5)

\ h + cj

Минимальные затраты. В работах по управлению запасами обычно основное внимание уделяется расчету оптимальных стратегий управления запасами. Между тем, не менее важна оценка издержек, связанных с их реализацией: только на ее основе можно определить объем средств, ассигнуемых на операционные затраты в системах снабжения. Сравнение же минимальных издержек со средними фактическими позволяет оценить качество применяемых методов управления запасами и сделать вывод о необходимости их корректировки. Для многих задач исследования операций (в частности, управления запасами) характерно очень медленное изменение показателя качества в районе оптимума. Это позволяет корректировать оптимальные решения с учетом удобства их реализации: например, периодичность поставок приблизить к квартальной или их объем - к транзитной норме.

Оценка минимальных затрат может быть получена прямой подстановкой в функцию затрат оптимального решения. Однако такой путь требует большого объема вычислений. Ниже рассматривается общий метод непосредственного определения минимальных затрат в периодической модели управления запасами со случайным спросом и его конкретизации для некоторых частных распределений спроса за период.

Перепишем формулу (5.6.1) в виде

L{S) = hSjf{x)dx-hfxf(x)dx

оо оо

- d-Sff(x)dx + dJxf{x)dx + c(S-z).

5 оо

Заметим, что f f{x) dx = F{S) и J f{x) dx = I - F{S) . Кроме того,

CO DO 5

fxfix)dx = fxf(x)dx-lxf(x)dx

S 0 0

- X - J xf(x) dx,

где X - математическое ожидание спроса за период. Теперь

L(S) = (dh)SF(S)-(d-\-h) jxf{x)dx + c{S-z)-d{x-S). (5.6.6)

При выборе 5 = 5* согласно (5.6.2) имеем [d-\-h)F(S*) = d - c. Подставляя этот результат в (5.6.6), находим простое выражение для минимальных затрат

1 -= L{S*)=dx-cz-{d + h) j xf{x)dx. (5.6.7)

В отличие от (5.6.1), здесь необходимо вычислять только один интеграл. Поскольку оптимальный запас однозначно определяется из уравнения (5.6.2), минимальные затраты зависят только от начального запаса z .

Для некоторых частных распределений возможны дальнейшие упрощения. Пусть, например, спрос за период имеет показательное распределение со средним X . Тогда

5* 5*

J xf{x] dx = I(x/x)e- dx = x[l - е-1Ц8*1х + 1)].

Для этого распределения

5*=i;ln, (5.6.8)

с -\- h

так что

е /- = ехр

V- сЛ-h) d + h