Подставляя результат в (5.6.7), находим

(с + Л)(1 + 1п,)-/1

- cz,

Очень простой результат (при известном S* ) можно вывести для гамма-распределения с плотностью

/(х) =

Л(Лх)

-Лх

В этом случае х = к/Х , а

jxf(f)dx =

А(Лж)

fc-i

лг() L

)b7(Jfe,AS)-(A5)e

7(Л,А5) (А5)е

А[ Т{к) Т{к + 1)

Здесь было использовано известное рекуррентное соотношение для неполной гамма-функции. Нормированная неполная гамма-функция в данном случае равна оптимальной вероятности обеспеченности спроса, и

г =c(x-z) + .(A5*)V.

Исключив А = к/х , получаем

V = х

{kSlxft

- cz.

Параметр к выражается через среднее и дисперсию D спроса за период: к = {х)УО.

Для спроса, подчиненного закону Релея с плотностью

где М - наиболее вероятное значение (мода) спроса, средний спрос X - М \J 1x12 . KpoFv/ie того, здесь

S S S

j xf{x)dx j el dx = j e-l dx - Se-

0 0 0

Последний интеграл выражается через функцию Лапласа Ф(-) , а экспонента - через интегральную функцию распределения закона Релея, так что

j xf{x)dxM,/lф(-

Но Му/ф. = X, а выражение 1 - F{S) при оптимальном выборе S = 5* сводится к (с + h)/{d+ h) . Поэтому

L* =х

( S У MV2J.

-cz + {c + h]S-.

В эту формулу можно подставить явное выражение для оптимального запаса при релеевском распределении спроса

5* = M2\n[(d+h)/(c + h)].

Окончательно

L* =х

-{d+h)Ф[,/h/-±i]+2ic + hUr- +

с-\- h

7Г с -f /г

5.6.2. Учет погрешностей в параметрах

Для статической вероятностной модели функция (5.6.1) затрат за период легко преобразуется к виду

L = c{S-z) + S{d + h)Jf{x)dx-d{S-x)

- {d-\-h)jxf{x)dx.

(5.6.9)

(5.6.11)

Воспользовавшись теоремой о среднем, приближенно представим входящие в последнюю формулу интегралы в виде

1 fix) dx j fix) dx + A /(5* + A/2)

5* + Д S*

j xfix) dx J xfix) dx + A(5* -f A/2) /(5* + A/2).

Осуществив в (5.6.11) эти замены и вычтя из L(5* -f А) величину Lis*) , получаем приращение затрат за период

AL -уА . /(5* + А/2). (5.6.12)

Поскольку в типичной области высоких вероятностей обеспечения спроса S* А , зависимость AL(A) с достаточной для практики точностью можно считать квадратичной.

Установим зависимость AS от погрешности в ценах с, Л и d, для чего применим логарифмическое дифференцирование к форму-

В частности, при оптимальном выборе нормативного запаса по формуле (5.6.2)

L* = c{S-,)s{d + h)--d(S-х)

а-{- п

- [dh) / xf{x)dx (5.6.10)

= dx - CZ - (с/ -f h) J xf{x) dx.

Подстановка в (5.6.1) 5 = 5* + A дает

L = cA-h(5*-h A)((i-f/0 / f{x)dx-dA

- (d-f/i) / xf{x)dx-c{S* - z)-d{S -x).