S d-c d-c d+h d + h

Jf{x)dx

Подставляя оптимальную вероятность обеспечения спроса и группируя слагаемые, получаем

= 7(5;:j(qr7;jl[( + )A,-(rf+MAe-(rf-c)A,.].

Действия в случае неизвестных знаков погрешностей аналогичны предыдущему случаю.

5.6.3. Дискретный спрос

При дискретном спросе оптимальный запас S* выбирается из условий

L(5- + 1)-L(.S-) > О,

L(S*-1)-L{S) > 0. >

Построим целевую функцию по ожидаемым избытку и недостатку:

5-1 со

L{S) = hY,{S-x)p(x) + d {x-S)p{x)c(S-z). Соответственно

5 сю

L{SI) hY,{S + I - х)р(х)d J2 {x-S-l)p{x)-c{S-l-z).

х=0 x=S+2

Приращение затрат при увеличении запаса относительно оптимума должно быть неотрицательным:

Д(5*) = L(S* + 1) - L(5*) = {h Ч- d)J2pi) - + с > О,

ле (5,6.2):

In j fix) dx = \n{d - с) - ln(rf + h),

/(5*) Ad Ac Ad Ah

07 = 0

Очевидно, что знак аналогичного приращения при увеличении запаса от 5* - 1 до S* должен быть обратным:

d - с

р(х)<

Итак, условие оптимальности запаса 5* есть

5* -1 5*

Это условие полностью аналогично полученному ранее для непрерывного случая. Поэтому мы в дальнейшем будем рассматривать только один из вариантов вывода. Попутно отметим, что принцип проверки смены знака функции при единичном приращении аргумента используется во многих других экономических задачах и называется маргинальньш анализом.

5.6.4. Импульсные расходы

При исчислении расходов по средневзвегаенным запасу и дефициту в случае х < S средний положительный запас = [S-{-{S - х)]/2 = S - х/2 , а время наличия запаса Т+ = Т; соответственно средний отрицательный запас у = О и время существования дефицита Т = О . Если спрос превысил запас, то у = 5/2, = [х - 5)/2, а части периода с положительным и отрицательным запасами соответственно будут равны Т+ = TS/x; Т = (1 - S/x)T . Ожидаемое значение затрат должно подсчитываться согласно

L[S) = h j[S - x/2)f(x) dx + hj f{x) dx

+ dj-fdx + ciS-z).

Дифференцируя по S, имеем

dL dS

= h j fix) dx + hj fix) dx-dj fH dx + .

= id + h) = id+h)

S oo

j fix)dx + SI dx

-d + c

FiS)+sl

-d + c.

Условием минимума является равенство

FiS) + SJ

Поскольку

fhx=.

(5.6.15)

oo oo OO

Sjldx = jjdx<sjfix)dx,

при 5 -) oo предел левой части равенства (5.6.15) - нуль. Но F{oo) = 1 ; следовательно, решение уравнения (5.6.15) существует, если

s[ldx<.

5~fO J X -d + h s

Остается показать его единственность. Обозначим левую часть (5.6.15) через Q{S) и найдем ее производную:

dQ dS

X S J X

dx>0

при всех 5. Следовательно, функция Q{S) монотонна, что и доказывает требуемый результат.