/W* = fi. (5.6.17)

Очевидно, L(oo) = с-\- h > 0 , и для существования решения его достаточно выполнения в некотором диапазоне значений S условия

Уравнение (5.6.17) для унимодальных распределений либо имеет не менее двух корней, либо не имеет их совсем. В случае двух корней минимум расходов соответствует большему корню, поскольку именно в этой точке знак производной меняется с минуса на плюс.

5.6.6. Штраф ПО времени дефицита

При спросе X , превысившем нормативный запас, доля времени существования дефицита равна 1 - S/x . Функция затрат может быть записана как

S со

L{S) = hJ (S - x)f{x)dx + dj(l- S/x)f(x) dx + c(S - (5.6.18)

5.6.5. Штраф по вероятности дефицита Определим функцию затрат

5 со

L{S) = h j{S- x)f{x)dx -d j f(x) dx + c(S - z), (5.6.16)

Т.е. CO штрафом d, выплачиваемым в случае хотя бы одной недостачи независимо от величины дефицита. Наивыгоднейший уровень запаса дается решением уравнения

L\S) = h j f(x) dx - df(S) + с = 0,

Приравняем нулю ее производную по запасу.

S оо

с+f(x)dx-d j dxO.

Левая часть этого уравнения монотонно возрастает по S . При 5 оо , очевидно, имеем c-f Л > О . Для существования экстремумов необходимо

выполнение с < d J[f(x)/x] dx .

Рассмотрим более подробно случай пуассоновского распределения спроса. Функция затрат будет иметь вид, аналогичный (5.6.18), с заменой интегрирования по х суммированием. Найдем плотность 05(г) распределения времени дефицита. Распределение времени наступления к -го события пуассоновского потока подчинено закону Эрланга к -го порядка. Дефицит начинается при израсходовании всего запаса S и еще одной единицы, так что

Мг)=Щ=е---\ (5.6.19)

Вычислим среднее время существования дефицита

Лг[Л(Г-г)]-,5!

Произведя замену переменных Л(Т - т) ~ и , получаем

XT XT

Заключенные в фигурные скобки интегралы являются табличными - см. [И], формула (567.9). В частности, первый из них

О =0

Записав аналогичное выражение для второго и подставив их в формулу для fs , имеем

fs = ie--(5 + 1) Х: - + 1)! - Те- t +

к = 0

kzzO

После несложных преобразований приходим к

.-AT

Ts = e

5+1 \ Л (ЛТ) 5+1(ЛТ)+ У- Л (5+1)!

/5-И V А

Оптимальный 5 вновь должен выбираться из условий (5.6.13). Конкретизируем их для данного случая. При замене 5 на 54-1 дополнительные ожидаемые расходы на поставки, хранение и выплату постоянной составляющей штрафов составят

(5+1)!

= с + е

(S+iy.l

Приращение повременных штрафов

Л2 = d{fsi - fs) = cf -

5+2 5+1

+ е

75+ 2 \ (ЛГ) 5 + 2(ЛТ)+2

fc=0

Л (5 + 2)!

5-И \ Л (A2Y 5 + 1 (ЛГ)+1

А=0 S+1

Л (5-l-l)!j