Тел.факс: +7(831)437-66-01
Факторинг  Теория очередей и материальные запасы 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 [ 51 ] 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123

5.7. Неизвестная интенсивность спроса 163

Таким образом, первое из условий (5.6.13) преобразуется в

.-AT

= с - - + е Л

Ato 7(541)!

> 0.

Второе условие (5.6.13) может быть получено из него заменой S на 5 - 1 и обращением знака неравенства.

5.6.7. Многопериодные обобщения

Приведенные выше формулы относятся к статической модели с минимизацией затрат за период. Однако доказано, что они верны и для бесконечношаговой модели с дисконтированным накоплением затрат и переносом возникающего дефицита в очередной период - при умножении цены закупки с на множитель 1 - О. В динамических задачах с конечным числом шагов оптимальные уровни запасов будут находиться между решениями для статического и динамического случаев. Точнее,

5i < 52 . . 5оо

Те же соображения применимы к периодическим стратегиям с задержкой поставок, если эта задержка постоянна и равна кТ. В этом случае наличный запас рассматривается как сумма физического наличия и всех ранее сделанных, но еще не выполненных заказов, а распределение спроса заменяется на (к1)-кратную свертку распределения одно-периодного спроса (см. [56] и имеющиеся там дополнительные ссылки).

5.7. Неизвестная интенсивность спроса

Довольно часто вид распределения отказов устанавливается из теоретических соображений, а область вероятных значений параметра может быть указана в результате анализа опыта работы аналогичных устройств. В этом случае управление запасами должно проводиться на основе статистических данных, которые по мере своего накопления позволяют уточнять параметры распределения спроса и пересчитывать критические числа стратегий управления. Нормативный запас



определяется как то его значение, при котором максимум риска минимален (минимаксная стратегия), или как величина его, минимизирующая математическое ожидание функции риска по всем возможным значениям параметра с учетом их апостериорных вероятностей (байесовская стратегия). Покажем эту методику на примере задачи управления запасами со случайным спросом, подчиненным распределению Пуассона с параметром (средним значением спроса за период) х G [а, 6] .

Подставим в условие оптимальности (11.2.3) левую границу нашего интервала а. и найдем значение запаса yi , оптимальное при xq = а . Строгое выполнение этих неравенств означает, что запас ух оптимален в диапазоне а < х < хх , где хх есть корень уравнения

к = 0

d-cjl-a) d+h

(5.7.1)

Для сохранения (11.2.3) при х > хх придется увеличить число слагаемых в сумме (для начала на единицу). Зафиксировав уо = г/i -f 1 , найдем соответствующее ему граничное значение спроса х2 и т.д. - до тех пор, пока не окажется, что очередное значение Хп > b . В этом случае примем Хп ~ b . В результате область возможных значений параметра оказывается разбитой на п непересекающихся отрезков, в каждом из которых оптимален вполне определенный у. Таким образом, в отыскании точечной оценки для х нет необходимости: достаточно указать лишь интервал Xi = Xf] , к которому этот параметр принадле-

жит. Примем, что в каждом из интервалов значения х распределены равновероятно. При этом математическое ожидание затрат за период, связанное с выбором решения у при х G Х{ , равно

Цу) =

Хг - Хг-1

c{l-a)y-hhy {y-k)e

к = 0

/с = у+1

Xt - Хг-l

[c(l-a)-d]xyd

e-Y.y-k){y-kl)-

k = Q

Слагаемое d x /2 в фигурных скобках не зависит от выбора у , а потому при расчете стратегий и риска может быть опущено.



5.7. Неизвестная интенсивноеть спроса 165

Поочередно подставляя в выражение для L(y) полученные ранее значения {у}, j = 1, , можно получить ожидаемые затраты Li{yj) , связанные с выбором каждого из них при х G А, . Риск же, связанный с принятием решения yj вместо yi , равен j - Li[yj) - Li(yi) . По смыслу величин Щj} образованная ими матрица риска состоит из неотрицательных элементов, а на главной диагонали ]лмеет нули. Вектор ожидаемого риска

Я{т) = L X Р{т),

где Р(777) - вектор апостериорных вероятностей Л G А на 77г-м шаге процесса; его минимальная составляющая указывает номер yi , оптимального на данном шаге. Априорные вероятности пересчитывают-ся по формуле Байеса, в данном случае принимающей вид

{Xi-Xi.i) П Рт{Хк\хеХг}

п т - 1

Z{xi-xi.,) П v{xk\xeXi}

1=0 к=1

в которой

1 f ..х

Xi-Xi.l\

Описанный алгоритм был реализован при следующих исходных данных:

а = 2, 6=10, б/= 80, с =20, Л = 15, а = 0.95.

Весь диапазон х оказался разбит на 11 интервалов с координатами точек деления 2.00, 2.14, 2.90, 3.70, 4.49, 5.31, 6.14, 6.98, 7.83, 8.68, 9.55, 10.00, что дало для априорных вероятностей принадлежности параметра к интервалам значения 0.0175, 0.0947, 0.0984, 0.1007, 0.1024, 0.1040, 0.1051, 0.1061, 0.1070, 0.1077, 0.0564 соответственно. Матрица риска приведена в табл. 5.1, а минимальная составляющая вектора ожидаемого риска Г1 = 30.24 . Обращает на себя внимание заметно более быстрое возрастание риска при уменьшении запаса относительно оптимального, чем при его увеличении. В [56, разд. 8.1] этот пример рассматривается как основа для имитационного эксперимента - со случайно выбранным средним спросом, генерацией соответствующих реализаций, пересчетом вероятностей интервальных гипотез и вектора ожидаемого риска.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 [ 51 ] 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123