выравниванием взвешенных ожидаемых дефицитов через уменьшение запасов. Тогда для всех г можно записать

оо оо

di j{x-Si)fi{x)dx = d, j[x-Si)h{x)dx. (6.5.3)

5. 5i

Уравнения (6.5.3) указывают на связь между дифференциалами {Si} в оптимальной точке вида

оо оо

di(j Мх) dx) dSi =di(j h{x) dx) dSi,

откуда

Mx)dx[j mdx). (6.5.4)

5i 5.

Для нахождения оптимального Si продифференцируем (6.5.2) по Si и приравняем производную нулю:

Ci + hi / fi{x)dx %--rfi / fiix)dx = 0.

Таким образом, оптимальный набор {Si} для функции затрат (6.5.2) дается решением системы уравнений

Nil f f

Ет- {cihi)[ fi{x)dx) -hi

г = 1 г L \J )

-1 - О,

diJ{x-Si)fi{x)dx-dif{x-Si)Mx)dx = О, i = 2,N.

5, Si

(6.5.5)

Необходимым условием существования решения этой системы в области

неотрицательных {Si} является J2 i/di < 1 - оно получается из

г = 1

первого уравнения системы (6.5.5) при всех = О .

6,5. Периодические поставки, вероятностный спрос 191

Решение подобных систем возможно только численно. В [56, §6.3] приводится пример расчета запаса по трем номенклатурам со спросом за период, распределенным по закону Релея, и начальными {Si] , найденными независимой оптимизацией. Решение было получено методом Ньютона. При большом числе номенклатур удобнее, однако, свести задачу к одномерному поиску 5i , добиваясь выполнения первого из уравнений (6.5.5) и на каждом шаге выравнивая штрафы.

Увеличение запаса по некоторым номенклатурам относительно текущего наличия может оказаться нецелесообразным. Критерий этого - неравенство

оо оо

di j xfi(x) dx < di J(x - Si)fi{x) dx,

0 5i

которое можно использовать и на промежуточных этапах алгоритма минимизации затрат. Соответствующие индексы из дальнейших вычислений исключаются.

В заключение данного раздела приведем варианты основной системы уравнений для других способов построения функции затрат. При расходах на хранение и штрафы по импульсам положительного остатка и дефицита, т.е. для целевой функции

L{S) = f]c,(5i-zO + i /( bt-/2)/.()c/4-y

о S.

1 f [х - Si)

-f -maxdi / --fi{x)dx,

2 i J X

оптимальные решения должны удовлетворять системе уравнений

Ci + /if ,

- hi

-1 = 0,

Z- л. oo

ОО oo

di jdx-di P-h{x)dx = 0, i = 2JV.

Si Si

Наконец, при исчислении затрат на хранение по избыточным запасам, а штрафов по взвешенным вероятностям недостачи имеем

L(S) = Yl~ j{Si-x)U[x)dx -maxdi j fi{x)dx

И условия оптимальности

Сг-Ьг{1- jfi(x)dx

-1 = 0,

dif,{S.)

:) сю

(h j fi(x) dx -di j fi(x) dx = 0, г = 27N.

Начальные приближения во всех случаях естественно определить независимой минимизацией затрат по отдельным номенклатурам.

Изложенные результаты применяются к статической модели. Однако для вариантов задачи с переносом дефицита они применимы и в многопериодной схеме - с уже обсуждавшейся заменой с на с(1 - о) .

6.5.2. Выбираемая периодичность

В разд. 6.2 было показано, что при детерминированном спросе наивыгоднейшие периоды снабжения для различных номенклатур не совпадают. Можно полагать, что в случае вероятностного спроса наилучший результат также достигается при организации восполнения по системе кратных периодов. Описанный ниже приближенный метод заключается в расчленении задачи на условно независимые этапы:

1) Случайный спрос по всем номенклатурам заменяется детерминированным с той же средней интенсивностью. Далее с помощью алгоритма разд. 6.2 рассчитывается система кратных периодов снабжения, т.е. оптимальный базисный период Т и набор чисел {ki] . Полученные периоды считаются окончательными и дальнейшей корректировке не подвергаются. Среднее значение и дисперсия спроса принимаются пропорциональными {kiT] , после чего выбираются аппроксимирующие распределения.