на каждом складе порознь позволяет ценой малого увеличения штрафов по относительно хорошо обеспеченным складам добиться существенного уменьшения суммы штрафов по системе в целом. Такая возможность, в свою очередь, позволяет снизить общий запас. Оценим это снижение количественно.

Пусть дана система из п складов с одинаковыми условиями хранения, распределениями спроса и ценами штрафов. Тогда при расчете затрат за период по математическим ожиданиям остатка и дефицита оптимальный запас на каждом складе, взятом отдельно, определится из уравнения (5.6.2) и может быть представлен в виде

где множитель к полностью определяется видом распределения и отношением (d - c)/(d -\- h) . Таким образом, суммарный запас в системе окажется равным п{х -f kaj.) .

Если считать возможным идеальное (бесплатное) перераспределение, то функция затрат по системе в целом запишется как

L = c{S-z)-h j(S-x)f)dx + d J(x-SE)Mx)dx 0

(индексом S отмечены спрос, запас и остаток по системе в целом), а ее минимальное значение доставляется решением уравнения

Fs(5*) = (d~c)/{d + h). (7.5.1)

Распределения спроса на отдельных складах обычно хорошо аппроксимируются нормальным. Распределение суммарного спроса уже при небольшом п оказывается близким к нормальному независимо от распределений составляющих. Следовательно,

где множитель к остается прежним. Очевидно, xs = пх и (т = nal , а достигаемое снижение запаса

AS - к(п(Тх - \[т1(Тх) - k(Tj(n - л/п).

Добавим к этому, что расчет по суммарным характеристикам обеспечивает оптимальную вероятность р* отсутствия дефицита по системе в

целом, тогда как раздельный дает ту же вероятность по каждому складу порознь и, следовательно, по системе в целом лишь (р*) . Значит, требования к системной вероятности и соответственно системный запас можно снизить дополнительно. При значительном п выигрыш от уменьшения запаса может перекрыть ожидаемые затраты на перераспределение.

Проиллюстрируем эти эффекты на числах. Функция распределения нормального закона

;>=Pr{A<j/} =

где Ф() -функция Лапласа. Таким образом, откуда следует

у = х- а\/2ф-\2р -\) = х к{р)а. Выигрыш в величине запаса составит

Для определенности возьмем р = 0.95 , n = 10 . Тогда р = 0.59874 , и

Ау = (10 1.64485 - 0.250087\/10)с7 = 15.6577а.

Применительно к децентрализованной системе имеет смысл рассматривать следующие задачи:

1) организация восполнения суммарного запаса в системе;

2) оптимальное перераспределение наличного запаса;

3) оптимальное распределение прибывшей партии между складами.

Рассмотрим способы их решения в зависимости от числа номенклатур в системе.

Cij - цена единичной перевозки между складами i-j , г, j = 1,п ; qij - объем перевозок между этими складами; Zj - наличный запас на j-м складе; dj - цена штрафа на складе j ;

М~ - множество складов, получающих запас при перераспределении; М - множество складов, отдающих запас при перераспределении. Тогда ожидаемые затраты за время до очередной поставки составят

= е j Y. 9ij)fj{x)dx

+ e / (x-Zi- e qij)fi(x)dx (7.5.2)

+ e e ctjij

i€M- GM+

(плотности и цены даны в расчете на время ожидания поставки). В работе С. Аллена [102] показано, что для выпуклых функций затрат, к которым принадлежит и (7.5.2), в оптимальном плане перераспределения либо dLi/dqij = О, либо OLi/dqij > О и qij = 0. Выполняя

7.5.1. Однородный запас

При заданной периодичности снабжения оптимальный суммарный запас может быть найден согласно (7.5.1) с подстановкой средней цены штрафа d . Если же период является свободной переменной, то для нахождения уровня заказа и объема поставки можно воспользоваться методами разд. 5.8 с подстановкой суммарных характеристик спроса и средней цены штрафа.

При постановке задачи о распределении запасов, ввиду приблизительно одинаковых условий хранения в системе, сумма затрат на хранение считается не зависящей от принятого решения и исключается из рассмотрения, так что минимизации подлежит сумма затрат на штрафы и распределение (перераспределение) запаса. Введем обозначения: