7.5. Децентрализованная система при вероятностном спросе 219 дифференцирование, убеждаемся, что

со со

1 - -dj J fj(х) dx + di j fi{x) dx + qj.

Нижние пределы интегрирования в последнем уравнении представляют собой оптимальные запасы после перераспределения, так что условие оптимальности перевозки qij может быть записано в форме

со сю

di I /. (х-) dx -djj fj(х) dx + с, = О (7.5.3)

(г - поставщик, j - получатель).

Для разделения складов на множества М и М~ можно, временно отвлекаясь от транспортных расходов, минимизировать сумму штрафов в системе

id = Xf/W(a;-5.)/,(a;)cx; (7.5.4)

=1 S.

при условии, что суммарный запас в системе остается неизменным. Дифференцируя (7.5.4) по {Si} , приходим к системе уравнений для условно оптимальных запасов

оо 00

di / fi(х) dx = di f fi{x)dx, i = 2,n,

n . (7.5.5)

ZSr = E.-.

2=1 2=1

Искать корни такой системы удобно, задаваясь набором значений одного из {Si] (для определенности положим, что это .Si ). Независимым решением первой группы уравнений (7.5.5) можно получить {5i(5i)} для г = 2,п, а затем и их сумму. Решая относительно Si уравнение

f2Si{Sx) = J2

2=1 2=1

находим Si и, выравнивая взвешенные вероятности дефицита, рассчитываем остальные {Si] . Очевидно,

геМ+, если Si < Zi, (7 5 6)

i G М~, если Si > Zi У )

При Si - Zi склад в перераспределении не участвует.

Рассмотрим динамику изменения левой части (7.5.7) в процессе перераспределения. Поскольку запас у поставщика снижается, а у получателя растет, эта функция будет возрастать. Но ее значение в оптимальной точке равно нулю. Следовательно, при исходном состоянии запасов должно выполняться условие

оо оо

di j fi{x) dx - dj I fj{x) dx + dj < 0 (7.5.7)

ДЛЯ всех пар складов, участвующих в перераспределении. Проверка данных соотношений позволяет сформировать множества {Ui] получателей склада г и множества {Vj] поставщиков склада j и уточнить списки получателей и поставщиков в смысле их сокращения.

Нетрудно показать, что в процессе перераспределения новые направления целесообразных перевозок возникать не могут. В самом деле, пусть склад i - поставщик, j - получатель, а склад к в перераспределении в начальный момент времени не участвует. Это означает, что для Si = Zi, Sj - Zj

oo oo

di j fi{x) dx - 4 J fk{x) dx + dk > 0,

oo oo

dk j fk{x) dx - dj j fj{x) dx -f Ckj > 0.

Ho в ходе перераспределения fi{x) dx растет, a fj(x) dx уменьшается. Следовательно, списки поставщиков и получателей могут только сокращаться.

Выпишем уравнения (7.5.7) для всех пар перевозок, целесообразных при исходном состоянии запаса, и просуммируем их квадраты по

каждому поставщику и получателю. В результате имеем систему уравнений

di / fi(x) dx

5. со

- Е d, J f,{x)dx-cij =0, i€M+,

= 0, jGA/-.

di\!i[x)dx - E di\ h{x)dx + c

\ S, / iV, \ 5.

(7.5.8)

Здесь через щ и Vj обозначены мощности множеств 11[ и Vj соответственно.

Решение этой системы для определения оптимальных запасов может проводиться одним из численных методов - например, по Ньютону или методом скорейшего спуска. На каждом шаге необходимы:

контроль неотрицательности запасов у поставщиков;

при необходимости - изменение шага;

исключение перевозок, ставших нерациональными;

корректировка состава множеств IJ,V\M и М~ .

Расчет {5*} заканчивается, когда множество М~ окажется пустым (одновременно опустеют и все остальные множества).

Сопоставляя объемы {5*} запасов на каждом складе после перераспределения с начальными запасами, можно определить суммарный объем поставок, полученных (отправленных) данным складом, и, решая транспортную задачу, найти наиболее экономичный план перевозок, реализующий окончательное распределение {5*} . Общая схема алгоритма:

1) Решая систему (7.5.5), получить условно оптимальные запасы

2) Сформировать исходные множества поставщиков и получателей согласно (7.5.6).

3) Рассчитать произведения di J для всех i G Л/ U М~ .

4) Для всех j G М~ принять Vj пустым, Vj = О .

5) Для всех i G М+ выполнить следующие операции:

а) положить Ui пустым, Ui = О ;