10) Сформировать значения дефицитов по всем j и г :

д- f -qjr. если qjr < 0; \ О иначе.

И) Занести {А~,} и {А+,] в таблицу постановки транспортной задачи.

12) Приступить к выбору объемов перевозок {qijr} по минимуму транспортных затрат (в процессе минимизации затрат мы будем использовать обычно выполняемые на практике условия Cijr = Cij Cr), ДЛЯ чего:

а) Выбрать minj j Cij .

б) Для данной пары складов вычислить qijr = min{Aj~.;A} и скорректировать остатки путем их уменьшения на qijr . Проделать эту операцию для всех г . Если на складе j все {Aj} оказались равными нулю, исключить склад j из числа получателей. Если на складе г все {А } оказались нулевыми, вычеркнуть склад г из числа поставщиков.

в) Для той же пары складов вычислить объемы перевозок во встречном направлении qjir = minjAj ; А~} , скорректировать остатки и списки получателей и поставщиков.

г) Проверить, остался ли хоть один получатель (иначе говоря, есть ли положительный дефицит А ,). Если остался, найти минимальный элемент в оставшейся части таблицы. Перейти к шагу б).

13) Конец алгоритма.

Заметим, что предложенный в данной задаче многомерный аналог метода минимального элемента нахождения опорного плана транспортной задачи линейного программирования не требует исчерпания излишков у всех поставщиков; необходимо лишь покрытие дефицитов (при этом по ключевой номенклатуре одновременно закрываются и излишки).

Совершенно аналогично решается и задача о распределении прибывшего в систему пополнения по нескольким номенклатурам: предварительно выявляется самая дефицитная номенклатура, и для нее решается система уравнений (7.5.10). Далее независимым решением уравнений (7.5.13) определяются необходимые запасы, подсчитывается

их сумма и сравнивается с располагаемым резервом. Окончательно выделив ключевую номенклатуру, вновь решаем систему уравнений (7.5.10) и назначаем объем поставок qjr по всем j,r до уравнивания штрафов. Излишняя в указанном смысле часть поставок направляется по наиболее дешевым маршрутам с учетом наличия свободного места на складах.

Задачи со способом расчета штрафов, отличным от максимального взвешенного дефицита, могут быть решены по аналогичной схеме.

Небольшая модификация предложенных алгоритмов позволяет получить приближенную методику решения задачи с учетом фиксированных составляющих {gij} по маршруту г j . Для этого необходимо всякий раз сопоставлять выигрыш от уменьшения штрафов с транспортными расходами. В частности, для однородного случая это уменьшение штрафа за вычетом расходов, пропорциональных объему перевозки, составит

оо оо

Ац = di / {x-S* -qij)fi{x)dx + dj f {x-S;+qij)fj{x)dx

OO oo

- di f{x-S:)fi{x)dx-dj J(x-S)fj{x)dx-Cijqij. s; s;

Разбив первые два интеграла на два слагаемых, можно показать, что

Aij= - diy (x-S:)fi{x)dx + dj / ix-S*)fjix)dx

OO OO

+ Чгз dj f fj {x)dx- di f fi {x)dx ~ Cij

Для малых объемов перевозок {qij} содержимое квадратных скобок можно приравнять нулю. Применив теорему о среднем, имеем

Ао- YdjMSj - qijm - difiiS- + qij/2)]. (7.5.14)

Если Aij > gij , такая перевозка является оправданной. В противном случае она должна быть исключена. Проверив все возможные перевозки и запретив невыгодные, необходимо вновь вернуться к алгоритму разд. 7.5.1 и т.д. - до тех пор, пока не обнаружится, что все оставшиеся перевозки выгодны. Последний полученный план перевозок считается окончательным.

Очевидно применение этой схемы к задачам теории надежности при расчете числа элементов, находящихся в горячем, теплом и холодном резервах.

7.6. Линейные многокаскадные системы снабжения

Под линейной системой снабжения понимается цепь складов, из которых каждый последующий удовлетворяет заявки предыдущего, причем любой поставщик имеет только одного потребителя. Такая схема, разумеется, лишь весьма приближенно описывает реальные эшелонированные системы. Тем не менее она заслуживает внимания, поскольку при относительной простоте модели сохраняет качественное своеобразие эшелонированных систем.

Большинство работ по управлению запасами предполагает независимость задержки выполнения требований от объема этих требований. Такое допущение неверно для многокаскадных систем, где время задержки будет определяться текущими уровнями запаса в различных ее звеньях. Эта задержка, вообще говоря, будет состоять из случайного числа вероятностных слагаемых. Кроме того, ограниченность запасов в высших звеньях системы может привести к неполному удовлетворению требований низшего звена. При этом условие оптимальности объема поставки, полученное методами предшествующих глав, окажется нарушенным, и расходы в нижнем звене отклонятся от своего минимума. Оптимальная стратегия в эшелонированной системе должна строиться с учетом такой возможности.

Для иллюстрации методов исследования линейных систем рассмотрим статическую задачу из трехзвенной цепи складов 1, 2 и 3, хранящих продукты производственного процесса (1 - окончательный продукт, 2 - промежуточный, 3 - сырье). Спрос на конечный продукт за период Т, на который создается запас, имеет известную плотность распределения f{x) . Будем считать, что при дефиците на складе i выплачивается штраф по цене di на единицу дефицита и неудовлетворенный спрос передается в следующее звено. Положим далее, что запас во всех звеньях исчисляется в расчете на единицу конечного продукта. Естественно считать, что цены хранения {hi} возрастают с повышением готовности продукта, что делает невыгодным хранение только предметов непосредственного спроса. Расходы на хранение примем пропорциональными остатку продукта на каждом складе. Необходимо найти такие величины запасов {Si} , при которых общие расходы L на хранение и