штраф будут минимальны.

В зависимости от величины спроса расчетные формулы будут различны. Именно:

Li = -а;)-b/i252+/гз5з, 0<j;<5i,

L2 = di{x-Si) + h2{Si+S2-x)-hsS3,

Si < X < Si -f- 52, Ls = di{x-Si)- d2{x -Si- S2) + hs{Si + 52 + 5*3 - x),

Si -\-S2 < a: < 5i -h 52 + 5з, l4 = di {x - 5i) -h d2ix - Si - 52) + dsix -S1-S2- 5з),

л: > 5i -f- 52 + 5з

Просуммировав {Li] с учетом вероятности соответствующих событий, после перегруппировки членов получаем математическое ожидание затрат:

L = {hi Si + /122 + hsSs) j f{x) dx -hi j xf{x) dx

+ [/12(51 +52)4-/353] j f(x)dx-h2 j Xf(x)dx

Si 5i

+ /i3(5i + 52-f 5з) j f{x)dx-h3 I xf{x)dx

S1+S2

S1+S2 SI+S2

c) dx

- с/з(51 + 52 + 5з)

51+52 + 53

- j f{x)dx

00 00 00

-f di j xf{x)dx-\-d2 j xf{x)dx + d3 j xf{x)dx.

Si S1+S2 5i + 52+53

Вычислим частные производные dL/dSi г = 1,3, и приравняем их

5i 5i+52

нулю. Для упрощения положим f f{x) dx = tti , f f{x) dx - 1x2 ,

0 5i

Таким образом,

7Г1 =

h Н- 1 - 2 h[h3-h2) (2 + 2 - /з)

С?з(Л2 - /13) - С?2/?3

di(h3 - h2)d2{{hi - h.) .

тгз =

((i2-h/i2-/j3)(3 + /i3)

Введем теперь новые переменные

7Г? = ТГь

7Г§ = 7Г1Ч-7Г2, (7.6.3)

ТГз = 7Г1 +7Г2 + 7ГЗ.

Подставляя в (7.6.3) ранее найденные 7Г1,7Г2 и тгз , имеем

7Г1 =

51+52 + 3

J f{x)dx =1 7Гз . В результате приходим к системе уравнений,

5i+52

линейных относительно {тг} :

i{di + d2 + d3 + hi) + 7Г2((/2 + йз + /2) Н- 7гз(б/з-+-/гз) = Е

i = l 3

7Г1(2 -f с/з 4- Л2) + 7Г2(2 + <3 + /2) + 7Гз((/з-f /?з) = ,

г = 2

7Г1(с?з4-/з) + 7Г2(с?з + /гз) + 7Гз((:/з-f/гз) = г/3.

Определитель этой системы

A = (d2-\- h2 - hsKdi -{-hi- h2){d3 + hs). (7.6.1)

По условию, hi > /?2 > 3 Кроме того, цены штрафа выше стоимостей хранения. Следовательно, А > О, и система имеет единственное решение. Находим остальные определители:

Al = с/1(о?з + Лз)(2 + Л2-Лз),

Д2 = {d3-\-hs)[di{h3-h2)-hd2{hi-h2)l

Аз = {di + hi - h2)[d3{h2 - Д3) - 2/3].

О 3

7Го =

ёз + Нз

С помощью (7.6.4) по таблицам интегрального закона распределения F{x) спроса на конечный продукт или непосредственным вычислением можно найти 51,51 4- 52 и 5i + 52 + 5з , а затем и сами искомые переменные.

До сих пор мы считали все величины {щ} положительными. Получим необходимые и достаточные условия справедливости этого предположения. Анализ системы (7.6.2) с учетом исходных допущений показывает, что

1) 7Г1 всегда больше нуля;

2) 7Г2 > О , если di{h2 - Лз) < 4(/i - /2) , или

(7.6.5)

hi - /?2

3) тгз > О , если д,з{Н2 - /з) > <2/?з . или

h2 - Нз Нз Следовательно, все {тг} положительны, когда

<. (7,6.6)

hi - h2 h2 - /13 Общий алгоритм расчета трехзвенной линейной системы:

1) Вычислить 7Г1 согласно первому из уравнений (7.6.2).

2) Если условие (7.6.5) выполнено, вычислить 7Г2 по второму из уравнений (7.6.2), иначе положить 7Г2 = О .

3) Если условие (7.6.6) ложно, положить тгз = О . Иначе

если 7Г2 > О , вычислить 7Гз по третьему из уравнений (7.6.2),

иначе положить тгз = с?з/(<з + /1з) - ri (это третье уравнение исходной системы с подстановкой в него 7Г2 = 0).