\ X J

(8.5.2)

Эти вероятности удобно рассчитывать рекуррентно по соотношениям

к+ 2

Глубина контроля определяет его полноту, которую мы будем рассматривать в двух вариантах. Назовем полным контролем поэлементную проверку системы, а частичным - проверку на функционирование системы в целом. При полном контроле выявляемый в момент проверки спрос равен числу отказавших элементов. При частичном спрос равен нулю, если система в целом исправна, и числу отказавших элементов - в противном случае.

Организадия контроля. Непрерывный контроль приводит к тому, что момент предъявления спроса на запасной элемент (несколько элементов) совпадает с моментом отказа очередного элемента или системы в целом. При периодическом контроле спрос накапливается в течение периода и предъявляется в момент очередной проверки.

Комплексные варианты. Сочетание перечисленных факторов порождает специфические способы расчета спроса. При непрерывном и полном контроле поток требований совпадает с потоком отказов: для холодного резерва это будет пуассоновский поток с интенсивностью Л , а для горячего - с интенсивностью {к -\- 1)Л . Ограничение полноты контроля при сохранении его непрерывности существенно меняет структуру потока требований на восполнение. При холодном резерве поток прореживается и становится эрланговским {к-\- 1)-го порядка с групповыми требованиями объема {к -\- 1) . При горячем резерве имеем рекуррентный поток с временем между последовательными групповыми

поненциального распределения вре?\лени наработки на отказ вероятность снижения числа резервных элементов на х единиц за время t

= ie- arzOTFTT, (8.5.1)

где к - кратность резервирования.

В случае горячего резерва удельная интенсивность отказов выше, причем весь резерв также подвержен отказам. Распределение числа отказавших элементов

требованиями, определяемым временем расходования (к + 1) элемента в схеме гибели . В этом случае плотность распределения времени между последовательными требованиями есть

№)= -i W = -[(I-e-r4

= {k-l)X{l-e-)e-

(в предположении, что 1/Л значительно больше времени замены).

При полном периодическом контроле спрос за период t в точности равен расходу элементов за этот срок и для холодного резерва распределен согласно (8.5.1), а для горячего - в соответствии с (8.5.2).

Наиболее сложен для расчета случай неполного периодического контроля. Здесь расход элементов подсчитывается как в предыдущем варианте, но восполнение производится лишь при снижении резерва до уровня, обнаруживаемого системой контроля. Естественно, что вероятность этого события зависит от начального запаса. Распределение спроса за период, следовательно, будет определяться стационарным распределением начального запаса. Обозначим

S - максимальный запас,

S - пороговый уровень, достижение которого обнаруживается системой контроля,

Pz - стационарная вероятность начального запаса г = 0,5 ,

TTij - вероятность снижения запаса за период от уровня г до уровня j .

Запас Z к началу очередного периода для z = 5-fl,5 может образоваться в двух случаях:

1) к началу предыдущего периода был запас, меньший или равный s , так что запас восполнили до уровня 5; в течение периода запас изменился с уровня 5 до S - z , т.е. спрос составил z единиц;

2) к началу предыдущего периода был запас х > s , так что восполнение не производилось; в течение периода запас изменился с х до z .

Для Z = 0,8 первый случай аналогичен, а второй допускает начальный запас X - S -i- I, S .

Суммируя вероятности соответствующих событий и считая распределение вероятностей начальных состояний не зависящим от номера периода, приходим к системе уравнений

Pz = 7Г5,5-2 Е Pv + Е х,гРх, г = 5 -Ы, 5,

S S

Pz - S,S-zYP+ Е x,zPx. Z-0,S.

x=0 .r = 5-fl

(8.5.3)

В частности, при холодном резерве тг.- 7г{х - г) (вероятность перехода определяется разностью индексов). Полученные системы уравнений линейны относительно {р.} и в практических ситуациях имеют малую размерность. Распределение спроса за период имеет следующий вид:

Qo = Е Р

Qz = PS-Z, Z-S- S,S,

Qz = о,

(8.5.4)

.- 1,5-5-1.

Приведем подсчитанные по (8.5.4) средние значения спроса и его дисперсии при S = 2, 5 = 5 (табл. 8.4).

Таблица 8.4 Характеристики распределения спроса

При пуассоновском спросе среднее и дисперсия совпадают и равны XT (первая строка). Как видно из таблицы, средний спрос за период совпадает со средним значением пуассоновского спроса лишь при малых значениях упомянутого произведения, а дисперсия во всем диапазоне существенно превышает дисперсию пуассоновского спроса. Таким образом, пренебрежение полнотой контроля может привести к грубым ошибкам в оценке возможного спроса за период.

Отказовый спрос наблюдается и на фоне периодического контроля.