9.2. Основная модель

Будем считать, что штраф за недостачу ЗИПа пропорционален среднему числу пользователей, простаивающих в единицу времени. Очевидно, вложенные в ЗИП средства омертвлены независимо от того, исправны его элементы или находятся в ремонте. Таким образом, функция затрат в единицу времени, связанная с ЗИПом объема s , принимает вид

L{s) = hs-{-d Y {k-s)pk, (9.2.1)

k=s + l

где h - цена хранения; d - цена штрафа; pk - стационарная вероятность нахождения в ремонте к агрегатов. Общие условия (5.6.13) оптимальности дискретного запаса s* с помощью (9.2.1) преобразуются в неравенства

h-d Pk > О,

k=s*

dJ2Pk-h > 0.

Их можно объединить в

Pk<h/d< pfc. (9.2.2)

k = s* + l k=s*

служить M/M/1/S . Здесь в состоянии О запас равен S . В состоянии 5-1-1 отказавшую деталь заменить нечем, и система простаивает. Вероятность простоя

ps+i=/+4l-/+)/(l-/), Р = А ..

Модели различаются также типами входящего потока и распределений длительности обслуживания. Недостатком этого подхода является трудность расчета многоканальных СМО с немарковским обслуживанием (см. главу 3).

Особым случаем является часто используемая без явных ссылок модель M/G/oc>, где очередь и отказы не возникают вследствие бесконечного числа каналов.

9.2. Основная модель

Если штраф определяется самим фактом недостачи и не зависит от ее объема (это бывает при обеспечении одной системы, нормальная работа которой при недостаче ЗИПа не гарантируется), целевую функцию следует записать в виде

Здесь условием оптимальности будет

Ps*+i < h/d<ps*.

(9.2.3)

(9.2.4)

Неравенства (9.2.2) и (9.2.4) были получены безотносительно к организации ремонта и характеристикам потока заявок и в этом смысле являются универсальными. Конкретное распределение {р} вычисляется методами теории массового обслуживания - см. главу 3.

При простейших допущениях (система М/М/1) удается получить явные версии условий (9.2.2) и (9.2.4). В этом случае при коэффициенте загрузки системы восстановления р = Х/р, стационарные вероятности {рк} подсчитываются согласно

Рк = {1р)р, k = 0,h... (9.2.5)

Соответственно при штрафе по ожидаемому дефициту функция затрат

L{s) = hs + dp+/{l-p), а оптимальный объем ЗИПа дается формулой

\Q(d/h)

При штрафе по вероятности недостачи имеем функцию затрат

L(s) =/15 +

а оптимальный ЗИП

S =

Hd{l - p)/h)

(9.2.6)

(9.2.7)

(9.2.8)

(9.2.9)

В обоих случаях берется целая часть взятых в скобки отношений логарифмов. Логарифмы могут быть взяты по любому основанию.

При тех же данных оптимальный запас составит целую часть от

lg(350-10150) lg2330 = lg(0.0833/.02) = line = 3.36 0.620 = 5.44,

Т.е. 5 штук, а ожидаемые затраты в 1.79 раза меньше:

о (0.02 12)

L(5) = 150 5 + 350 10

1-0.02-12

1 91 10 *

= 750 -f 0.35 10--- = 750 -f 88 = 838 долл. 0.76

Следует подчеркнуть, что распределение числа заявок в системе массового обслуживания даже при равенстве средних значений чрезвычайно чувствительно к виду распределения длительности обслуживания. На рис. 9.1 и 9.2 представлены графики распределения и ДФР числа заявок в системе M/G/1 для загрузки р = 0.7 и гамма-распределения длительности обслуживания при указанных на кривых коэффициентах вариации. Случай v = О соответствует регулярному обслуживанию.

Графики демонстрируют большой разброс определяющих выбор оптимального запаса точек пересечения кривых с горизонталью, проведенной на уровне отношения h/d. Это указывает на обязательность учета дисперсии распределений длительности обслуживания. Разброс быстро возрастает с уменьшением упомянутого отношения.

Пример. Предположим, что требуется оценить экономичность оборотного запаса 5=10 штук восстанавливаемых узлов авиационного двигателя при стоимости детали 600 долл., среднем времени восстановления =12 дней и интенсивности потока отказов Л = 0.02 в день. Стоимость годового хранения примем h = 150 долл. Штраф будем исчислять по ожидаемой недостаче. В [165] удельный штраф за простой самолета определен как стоимость аренды нового в сумме 1 тыс. долл. в день, или 365 тыс. долл. в год. Примем d =350 тыс. долл. Тогда годовые ожидаемые затраты при плановом запасе 10 штук

L(10) = 150. 10 + 350.10з

1 52 10~

= 1500 -{- 0.35 10---= 1500.07 долл.

0.76