где Lq - затраты на создание ЗИП, а {Li], г = lN - затраты в соответствующие годы эксплуатации. Полагая последние постоянными и вычисляя их по формулам предыдущего раздела, убеждаемся, что затраты и оптимальные решения можно определять по тем же формулам с заменами

л = е+-(1-а), 1 - а

d = :г(1-И). 1 - а

Здесь с -стоимость предварительной закупки одного элемента ЗИПа.

9-7. Восстановление с порогом включения и разогревом

в ряде систем массового обслуживания, в особенности при относительно малой загрузке, оказывается целесообразным введение порога включения - обслуживание начинается при скоплении в системе г > 1 заявок и заканчивается при полном освобождении системы. Такой режим увеличивает как период непрерывной занятости, так и время, в течение которого обслуживание не ведётся. Это на относительно длительные периоды позволяет переводить автоматическую аппаратуру - в целях экономии ресурса и электроэнергии - в облегченный (дежурный) режим. В системах с участием человека появляется возможность полностью выключать значительную часть техники и переводить оператора на решение других задач.

9.6. Оптимизация ЗИП по затратам за время эксплуатации

Выше обсуждалась минимизация затрат в единицу времени. При малом сроке службы техники приходится принимать в расчет и их распределение по годам. Наиболее обоснованным показателем является взвешенная сумма затрат за весь срок эксплуатации

Lv: = a4 (9.6.1)

7г/С-1 - jQk-j ) / Уо, А = 1, г - 1,

Очевидно, что обслуживание первой заявки в этих условиях (а практически даже при г = 1 ) сопряжено с выполнением некоторых дополнительных операций ( разогревом системы в прямом и/или переносном смысле) и в среднем будет продолжаться дольше, чем обслуживание прочих заявок, причем изменение показателей оперативности обслуживания в общем случае не может быть сведено к постоянной задержке.

Ниже предлагается методика расчета системы M/G/1 , позволяющая учитывать обе упомянутых особенности алгоритма ее функционирования.

9.7.1. Вложенная цепь Маркова

Аналогично разд. 3.13 выберем моменты регенерации процесса. Снова обозначим rjj вероятность прибытия j новых требований за время обслуживания с распределением В(1) . Эти вероятности определяются формулой (3.6.3), и в главе 3 описан способ их эффективного вычисления. Аналогично определим вероятности {q*] и для распределения B*{t) обслуживания с разогревом. Для установившегося режима застать в системе А; < -1 требований можно, если в ней в предыдущий момент регенерации находилось j - 1Д-(- 1 заявок, одна обслужилась и пришло еще Аг -f- 1 - j > О заявок. После разогрева вложенная цепь Маркова может оказаться только в состояниях г - 1, причем до

начала разогрева следует дождаться прибытия г заявок. Следовательно, финальные (предельные при устремлении номера момента регенерации к бесконечности) вероятности состояний вложенной цепи связаны системой уравнений

к = TTjqki-j-{-7roql , А: = г- l,r,r-h 1,....

Из этих формул выводим рекуррентные выражения для расчета вероятностей:

. к-1

TTk-i - 7Toql r - Y Jk-j ) / Яко. (9.7.1)

= r,r + 1, . . .

9.7.2. Переход к стационарным вероятностям Обозначим

а - среднюю частоту немарковских (по завершению обслуживания) переходов между состояниями системы,

b -среднюю длительность обслуживания,

6* - среднюю длительность обслуживания с разогревом.

Средний интервал между немарковскими переходами

а- = (г/Л + 6*)7Го -I- 6(1 - 7Го). (9.7.2)

Свяжем немарковские переходы с моментами регенерации вложенной цепи, для которых рассчитываются {тг;} . Параметр Xk марковских переходов (прибытие новых заявок) при наличии в системе ровно к заявок может быть отнесен к произвольному моменту и должен связываться со стационарной вероятностью pk . Баланс переходов между смежными состояниями системы в стационарном режиме требует равенства

Xpk = атгь = 1,2,... (9.7.3)

Частоты включения и выключения режима обслуживания равны:

ХРг-1 - cvTro.

Поскольку вероятности {pD всех г состояний с отключенным обслуживанием равны между собой, его можно заменить на

Хр1 = отго. (9.7.4)

Определим суммарную вероятность свободного состояния р* . Она равна отношению средней длительности свободного состояния г/Х к сумме этой длительности и средней длины Тв периода непрерывной занятости (ПНЗ). В среднюю длину ПНЗ входят: